"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Усечённая пирамида — часть пирамиды между основанием и параллельным ему сечением. При таком сечении верхняя часть отделяется, а многоугольник сечения становится меньшим основанием. Два основания подобны, а боковые грани имеют форму трапеций. Чтобы решать задачи, нужно различать высоту всей усечённой пирамиды и высоту её боковой грани: первая измеряется перпендикулярно основаниям, вторая — внутри трапеции.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Усечённая пирамида — часть пирамиды, заключённая между её основанием и сечением, параллельным основанию. Иначе говоря, у исходной пирамиды отсекают верхушку, а оставшуюся часть рассматривают отдельно. Это определение помогает понять, почему у фигуры два основания и откуда берётся её форма.
Основания усечённой пирамиды — два подобных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях; меньшее основание получается сечением пирамиды. Подобие означает, что соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Это свойство используют, чтобы находить неизвестные размеры одного основания по размерам другого.
Боковая грань усечённой пирамиды — трапеция, образованная соответствующей стороной каждого основания и боковыми рёбрами. Параллельными сторонами этой трапеции служат стороны оснований, а непараллельными — боковые рёбра. Такое представление позволяет применять к граням свойства трапеции.
Высота усечённой пирамиды — расстояние между плоскостями её оснований. Она измеряется отрезком, перпендикулярным обеим плоскостям, а не вдоль бокового ребра. Это обозначение нужно, чтобы отличать высоту всей фигуры от высоты отдельной боковой грани.
Представь пирамиду и проведи через неё плоскость, параллельную основанию. Плоскость пересечёт боковые грани, а полученный многоугольник окажется границей верхней отсечённой части. Оставшаяся между этим сечением и исходным основанием часть и есть усечённая пирамида. Поскольку плоскость параллельна основанию, сечение становится её верхним основанием.
Основания подобны не случайно: их стороны лежат в параллельных плоскостях, а соответствующие стороны связаны с одним и тем же ребром исходной пирамиды. Если рассмотреть треугольники, образованные вершиной пирамиды и соответствующими сторонами, они подобны. Поэтому все соответствующие линейные размеры оснований относятся одинаково, а углы многоугольников совпадают.
Боковая грань исходной пирамиды — треугольник. Плоскость сечения отсекает от него маленький треугольник по прямой, параллельной стороне основания, поэтому оставшаяся часть грани имеет две параллельные стороны. Четырёхугольник с одной парой параллельных сторон — трапеция, отсюда и форма боковых граней усечённой пирамиды.
У правильной усечённой пирамиды исходная пирамида правильная, а сечение параллельно её основанию. Тогда верхнее и нижнее основания — правильные многоугольники, расположенные вокруг одной оси. Симметрия фигуры делает боковые грани равными равнобедренными трапециями. У произвольной усечённой пирамиды такой симметрии может не быть, поэтому её грани не обязаны быть равными.
Высота фигуры соединяет плоскости оснований под прямым углом. Высоту боковой грани проводят внутри трапеции перпендикулярно её параллельным сторонам, поэтому она наклонена к основаниям всей пирамиды. У правильной усечённой пирамиды эти две высоты и разность апофем образуют прямоугольный треугольник: вертикальный катет равен высоте пирамиды, горизонтальный — разности апофем, а гипотенуза — высоте боковой грани. Не смешивай эти отрезки при вычислениях.
| Элемент | Что представляет собой | Важное свойство |
|---|---|---|
| Нижнее основание | Многоугольник, соответствующий основанию исходной пирамиды | Параллельно верхнему основанию |
| Верхнее основание | Многоугольник, полученный сечением пирамиды | Подобно нижнему основанию |
| Боковая грань | Четырёхугольник между соответствующими сторонами оснований | Является трапецией |
| Боковое ребро | Отрезок на боковой поверхности, соединяющий вершины оснований | Не является высотой усечённой пирамиды |
| Высота | Перпендикулярное расстояние между основаниями | Перпендикулярна плоскостям оснований |
| Высота боковой грани правильной усечённой пирамиды | Высота равнобедренной трапеции в боковой грани | Отличается от высоты всей пирамиды |
Сначала найди в условии нужный элемент и сопоставь его со второй колонкой: это помогает не перепутать ребро и высоту. Затем используй свойство из третьей колонки — например, подобие оснований или формулу средней линии трапеции. Для вычисления высоты боковой грани проверь, дана ли высота всей пирамиды и известна ли разность апофем оснований.
Задача 1. В пирамиде проведено сечение плоскостью, параллельной основанию. Определите форму сечения и установите, как оно связано с основанием. Нужно опереться на параллельность плоскостей, а не на конкретный вид пирамиды. Тогда результат будет верен для треугольного, четырёхугольного и любого другого основания.
Ответ: сечение — многоугольник той же формы, что и основание; оно подобно основанию.
Задача 2. У правильной усечённой четырёхугольной пирамиды стороны оснований равны 10 см и 4 см. Найдите периметры оснований и длину средней линии боковой грани. Основания здесь квадраты, потому что пирамида правильная, а боковую грань удобно рассматривать как трапецию. Средняя линия трапеции равна полусумме её параллельных сторон.
Ответ: периметры оснований — 40 см и 16 см, средняя линия боковой грани — 7 см.
Задача 3. У правильной усечённой треугольной пирамиды стороны оснований равны 9 см и 3 см, а высота равна 4 см. Найдите высоту боковой грани. Она не равна высоте всей пирамиды: нужно учесть смещение соответствующих сторон оснований. В правильной фигуре это смещение равно разности апофем равносторонних треугольников.
Ответ: высота боковой грани равна √19 см.
Иногда основаниями называют любые две грани фигуры. Ошибка возникает из-за того, что у многогранника много граней, но основания усечённой пирамиды — только параллельные многоугольники, один из которых получен сечением. Проверь себя: эти грани должны лежать в параллельных плоскостях и быть подобными.
Боковые грани могут ошибочно считать треугольниками, как у полной пирамиды. Путаница появляется, если мысленно не отделить верхушку после проведения сечения. Посмотри на границу каждой оставшейся боковой грани: у неё четыре стороны, а две соответствующие стороны оснований параллельны, значит, это трапеция.
Боковое ребро или высоту боковой грани иногда принимают за высоту усечённой пирамиды. Причина — все эти отрезки соединяют разные части фигуры, но только высота перпендикулярна плоскостям оснований. Проверка простая: отметь прямой угол между высотой и плоскостью основания; если такого угла нет, это не высота пирамиды.
Не следует считать боковые грани равными у любой усечённой пирамиды. Это свойство связано с симметрией правильной усечённой пирамиды, а у произвольной формы стороны и наклоны могут различаться. Перед выводом о равенстве проверь, сказано ли в условии, что пирамида правильная.
Для работы с усечённой пирамидой нужно знать, что такое пирамида, и понимать свойства параллельных плоскостей. Подобие многоугольников объясняет связь размеров двух оснований, а свойства трапеции помогают находить длины и средние линии боковых граней. Теорема Пифагора применяется, когда требуется связать высоту пирамиды, разность апофем и высоту боковой грани. Эти понятия понадобятся далее при изучении площадей поверхностей и объёмов многогранников.
Как получить усечённую пирамиду из обычной пирамиды?
Нужно пересечь пирамиду плоскостью, параллельной её основанию, и отделить верхнюю часть. Оставшаяся часть между плоскостью сечения и основанием называется усечённой пирамидой.
Почему основания усечённой пирамиды подобны?
Сечение проходит параллельно основанию исходной пирамиды. Поэтому соответствующие стороны сечения и основания пропорциональны, а соответствующие углы равны — это и означает подобие многоугольников.
Почему боковые грани усечённой пирамиды являются трапециями?
Каждая боковая грань исходной пирамиды — треугольник, который сечение пересекает по отрезку, параллельному его основанию. После отсечения верхушки остаётся четырёхугольник с одной парой параллельных сторон, то есть трапеция.
Чем высота усечённой пирамиды отличается от высоты её боковой грани?
Высота усечённой пирамиды — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Высота боковой грани — перпендикуляр внутри трапеции между её параллельными сторонами. Эти отрезки направлены по-разному и обычно имеют разную длину.
Когда усечённую пирамиду называют правильной?
Если она получена отсечением верхушки правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию, её называют правильной усечённой пирамидой. У неё основания — правильные многоугольники, расположенные соосно, а боковые грани — равные равнобедренные трапеции.
34. Усеченная пирамида
