2.3. Усеченная пирамида

Определения и обозначения

Усечённая пирамида — часть пирамиды между её основанием и сечением плоскостью, параллельной основанию; вершина исходной пирамиды в эту часть не входит. Если провести такое сечение, пирамида разделится на меньшую пирамиду у вершины и усечённую часть. Это определение помогает отличить усечённую пирамиду от другого многогранника с двумя основаниями.

Основания усечённой пирамиды — исходное основание и параллельное ему сечение. Они подобны: у них одинаковая форма, но размеры могут различаться; соответствующие стороны параллельны. Это позволяет связывать длины сторон и периметры оснований через коэффициент подобия.

Высота усечённой пирамиды — перпендикулярное расстояние между плоскостями её оснований. Её не следует путать с наклонными отрезками на боковых гранях. Высота нужна, например, при вычислении объёма и в задачах, где рассматривают прямоугольные треугольники внутри фигуры.

Правильная усечённая пирамида — фигура, полученная из правильной пирамиды сечением, параллельным основанию. Правильная пирамида имеет правильный многоугольник в основании, а её высота проходит через центр основания. У усечённой фигуры боковые грани — равные равнобедренные трапеции; это позволяет применять единую формулу их общей площади.

Как это устроено

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, пересекает её боковые рёбра и отсекает у вершины меньшую пирамиду. Сечение играет роль основания этой маленькой пирамиды, а исходное основание — нижнего основания оставшейся части. Поэтому между сечением и исходным основанием находится усечённая пирамида, а вершина исходной фигуры остаётся за её пределами. Если плоскость не параллельна основанию, такого устройства и свойств усечённой пирамиды может не быть.

Основания получаются параллельными, потому что одно из них лежит в плоскости сечения, параллельной плоскости другого. Чтобы понять подобие, можно рассмотреть исходную пирамиду и меньшую пирамиду у вершины: у них общая вершина, а основания лежат в параллельных плоскостях. Соответствующие углы этих многоугольников равны, а стороны относятся с одним и тем же коэффициентом. Значит, сечение подобно исходному основанию, хотя может быть меньше него.

Каждая боковая грань усечённой пирамиды образована частью боковой грани исходной пирамиды. У неё две стороны лежат на боковых рёбрах, а две другие — на сторонах оснований. Поскольку стороны оснований параллельны, эти две стороны трапеции параллельны и становятся её основаниями. Если сопоставить все боковые грани по кругу, их нижние основания составят стороны одного основания усечённой пирамиды, а верхние — стороны другого.

У произвольной усечённой пирамиды основания всё равно параллельны, поэтому боковые грани являются трапециями. Но исходная пирамида может быть наклонной или иметь основание, не являющееся правильным многоугольником; тогда трапеции могут отличаться друг от друга и не быть равнобедренными. Если же исходная пирамида правильная, её боковые грани устроены одинаково, а сечение параллельно основанию. Поэтому боковые трапеции равны и равнобедренны.

Площадь каждой боковой грани правильной усечённой пирамиды равна полусумме оснований трапеции, умноженной на её высоту. Высотой такой трапеции служит апофема l — перпендикуляр между её параллельными сторонами в плоскости грани. Складывая площади всех трапеций, получаем Sбок = (P₁ + P₂)l/2: суммы нижних и верхних оснований трапеций дают периметры P₁ и P₂ двух оснований. Поэтому в формулу входят именно периметры, а не отдельные стороны.

Элементы и свойства усечённой пирамиды

Сначала определите, относится ли фигура к правильным усечённым пирамидам: только в этом случае можно сразу применять формулу через периметры и апофему. Высота и апофема описывают разные отрезки, поэтому перед вычислениями полезно уточнить, какой именно дан в условии.

Разбор задач

Задача 1. В пирамиде проведено сечение плоскостью, параллельной основанию. Определить, какие многоугольники являются основаниями полученной усечённой пирамиды и как они расположены. Здесь важно не принимать за основание усечённой части многоугольник, который получился бы при произвольном наклонном сечении. Условие о параллельности сразу задаёт нужный вид фигуры.

1. Усечённая часть расположена между плоскостью сечения и плоскостью исходного основания.
2. Её основаниями будут исходное основание пирамиды и полученное сечение.
3. Плоскости оснований параллельны по условию. Параллельное сечение пирамиды подобно её основанию, поэтому эти многоугольники также подобны.

Ответ: основания — исходное основание пирамиды и сечение; они параллельны и подобны.

Задача 2. У правильной усечённой четырёхугольной пирамиды стороны оснований равны 8 см и 5 см, апофема равна 4 см. Найти площадь боковой поверхности. Так как основания четырёхугольные и правильные, это квадраты. Значит, для формулы нужны периметры квадратов, а не только данные длины их сторон.

1. Вычислим периметры: P₁ = 4 · 8 = 32 см, P₂ = 4 · 5 = 20 см.
2. Подставим значения в формулу: Sбок = (P₁ + P₂)l/2.
3. Получим Sбок = (32 + 20) · 4/2 = 104 см². Единицы площади — квадратные сантиметры.

Ответ: 104 см².

Задача 3. В правильной усечённой треугольной пирамиде периметры оснований равны 18 см и 30 см, площадь боковой поверхности — 96 см². Найти апофему, затем высоту, если разность радиусов вписанных окружностей оснований равна 3 см. Сначала используем формулу площади для поиска апофемы. Для высоты рассмотрим сечение, перпендикулярное сторонам оснований и проходящее через их центры: разность радиусов окажется горизонтальным катетом.

1. Из 96 = (18 + 30)l/2 получаем l = 2 · 96/48 = 4 см.
2. Апофема, высота и разность радиусов образуют прямоугольный треугольник. Апофема — гипотенуза, высота h и отрезок 3 см — катеты.
3. По теореме Пифагора h² + 3² = 4², поэтому h² = 7 и h = √7 см.

Ответ: апофема равна 4 см, высота — √7 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать усечённой пирамидой результат любого сечения. У наклонного сечения основание и сечение не параллельны, поэтому нужные свойства могут не выполняться. Ошибку допускают, ориентируясь только на то, что плоскость пересекла пирамиду. Проверьте условие: сечение должно быть параллельно основанию.

Вторая ошибка — путать высоту и апофему. Высота измеряется перпендикулярно между плоскостями оснований, а апофема лежит в боковой грани и является высотой трапеции. Эти отрезки обычно не равны, потому что боковая грань наклонена. Проверьте, в какой плоскости расположен искомый отрезок и чему он перпендикулярен.

Третья ошибка — применять формулу Sбок = (P₁ + P₂)l/2 к произвольной усечённой пирамиде. Её вывод опирается на то, что боковые грани правильной усечённой пирамиды — равные равнобедренные трапеции с общей высотой-апофемой. В произвольной фигуре высоты трапеций могут различаться. Перед подстановкой данных убедитесь, что пирамида правильная.

Четвёртая ошибка — подставлять в формулу длины сторон оснований вместо их периметров. В сумме площадей трапеций складываются все нижние стороны и все верхние стороны, поэтому появляются полные периметры. Для проверки посчитайте периметр каждого многоугольника отдельно. Если основание — квадрат со стороной a, его периметр равен 4a, а не a.

Связь с другими темами

Для изучения усечённой пирамиды нужны определение пирамиды и понимание параллельного сечения. Подобие многоугольников объясняет связь между основаниями, а свойства трапеции и формула её площади помогают вывести формулу площади боковой поверхности. Поэтому полезно уверенно находить периметры и площади многоугольников.

Дальше эти знания применяются в задачах на площади поверхностей многогранников и объёмы усечённых пирамид. Различение высоты и апофемы помогает выбрать нужные элементы в пространственных чертежах. Свойства подобных оснований также позволяют находить неизвестные размеры по известным.

Что запомнить

• Усечённую пирамиду получают сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию.
• Основания усечённой пирамиды параллельны и подобны.
• Боковые грани усечённой пирамиды — трапеции.
• У правильной усечённой пирамиды боковые грани — равные равнобедренные трапеции.
• Апофема — высота боковой грани правильной усечённой пирамиды.
• Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна полусумме периметров оснований, умноженной на апофему: Sбок = (P₁ + P₂)l/2.