"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Правильная пирамида — многогранник с правильным многоугольником в основании, вершина которого расположена над центром основания. Благодаря симметрии её боковые рёбра и грани равны, а высота, апофема и радиус вписанной в основание окружности образуют прямоугольный треугольник. Эти свойства помогают находить элементы пирамиды и вычислять площадь её боковой поверхности по периметру основания и апофеме.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильная пирамида — пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а проекция вершины на плоскость основания совпадает с центром основания. Проекция — это точка, в которой перпендикуляр из вершины пересекает плоскость. Определение позволяет сразу использовать симметрию основания и выводить свойства боковых рёбер.
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. Иными словами, это перпендикуляр внутри бокового треугольника, опущенный на его основание. Апофема нужна для вычисления площади боковых граней и всей боковой поверхности.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. В правильной пирамиде его нижний конец находится в центре основания. Высота показывает расстояние от вершины до плоскости и используется, например, при нахождении объёма или апофемы.
Боковая поверхность пирамиды — сумма площадей всех её боковых граней. В отличие от полной поверхности, она не включает основание. Для правильной пирамиды её удобно находить по периметру основания и апофеме, не вычисляя отдельно площадь каждого треугольника.
Центр правильного основания служит основанием высоты благодаря симметрии фигуры. Если вершина находится над центром, её расстояния до всех вершин основания одинаковы: от центра до вершин правильного многоугольника проведены равные радиусы. Поэтому боковые рёбра получаются равными. Такое расположение и отличает правильную пирамиду от пирамиды с произвольным положением вершины.
Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники. Две боковые стороны каждой грани являются боковыми рёбрами, а они равны из-за положения вершины над центром основания. Основания граней — стороны одного правильного многоугольника, поэтому они тоже равны. Треугольники с одинаковыми тремя сторонами равны, значит, у граней совпадают и площади.
Высота пирамиды, апофема и радиус вписанной в основание окружности образуют прямоугольный треугольник. Чтобы увидеть его, проведём сечение через вершину, центр основания и середину одной из сторон. В этом сечении высота перпендикулярна плоскости основания, а радиус к середине стороны перпендикулярен самой стороне. Угол между высотой и этим радиусом прямой, поэтому апофему можно найти по теореме Пифагора: a² = h² + r².
Для площади боковой поверхности складывают площади всех боковых граней. Если у основания периметр P, а апофема равна a, то каждая грань имеет площадь, равную половине произведения её стороны на a. Сумма сторон основания равна P, поэтому сумма площадей треугольников равна Sбок = ½Pa. Формула применима к правильной пирамиде, поскольку у всех граней одна и та же высота-апофема.
Апофему и высоту пирамиды различают по тому, где лежит отрезок и к чему он перпендикулярен. Высота выходит из вершины к плоскости основания и не лежит в боковой грани. Апофема расположена внутри боковой грани и перпендикулярна стороне основания. В прямоугольном треугольнике, связывающем эти отрезки, апофема — гипотенуза, а высота и радиус вписанной окружности — катеты.
| Элемент или характеристика | Что верно | Как использовать |
|---|---|---|
| Основание | Правильный многоугольник | Найти периметр, площадь и радиусы |
| Проекция вершины | Центр основания | Провести высоту к центру |
| Боковые рёбра | Все равны | Использовать равенство боковых треугольников |
| Боковые грани | Равные равнобедренные треугольники | Находить одну площадь и умножать на число граней |
| Апофема | Высота боковой грани | Вычислять площадь боковой поверхности |
| Площадь боковой поверхности | Sбок = ½Pa | Периметр P умножить на апофему a и разделить на 2 |
Сначала определите, какие данные задачи относятся к основанию, а какие — к боковым элементам. Затем проверьте, нужен ли радиус вписанной окружности для связи высоты с апофемой. Формулу площади боковой поверхности применяйте только после того, как известны периметр основания и апофема.
Задача 1. Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной 6 см. Найдите периметр основания и число боковых граней. Периметр зависит от числа и длины сторон квадрата, а каждой стороне основания соответствует одна боковая грань. Поэтому достаточно использовать свойства квадрата и строение пирамиды.
Ответ: 24 см; 4 боковые грани. Число граней не зависит от длины стороны, а определяется числом сторон основания. Периметр, напротив, зависит от длины стороны.
Задача 2. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 4 см, сторона основания — 6 см. Найдите апофему. Апофема вместе с высотой и расстоянием от центра квадрата до его стороны образует прямоугольный треугольник. Для квадрата это расстояние равно половине стороны, то есть радиусу вписанной окружности.
Ответ: 5 см. В расчёте использовано расстояние от центра основания до стороны, а не до вершины квадрата. Именно это расстояние входит в выбранное сечение.
Задача 3. Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 10 см, а апофема — 13 см. Найдите площадь боковой поверхности и полную площадь поверхности. Сначала используем периметр и апофему для боковой поверхности, затем прибавим площадь квадратного основания. Так мы не смешиваем боковую площадь с полной.
Ответ: площадь боковой поверхности — 260 см², полная площадь поверхности — 360 см². Вторая величина больше на площадь основания. При подсчёте площади боковой поверхности основание не включается.
Апофемой называют высоту всей пирамиды. Ошибка возникает из-за того, что оба отрезка проведены из вершины, но апофема лежит в боковой грани, а высота перпендикулярна плоскости основания. Проверьте, к чему перпендикулярен отрезок и где он расположен. Если он заканчивается на стороне основания и лежит в грани, это апофема.
Считают, что боковые грани равны у любой пирамиды. Это свойство следует из правильного основания и положения вершины в правильной пирамиде, а в произвольной пирамиде боковые рёбра и стороны основания могут различаться. Перед применением равенства проверьте, что пирамида действительно правильная. Если исходные данные этого не гарантируют, площади граней могут быть разными.
В формуле площади боковой поверхности вместо периметра используют одну сторону основания. Так учитывается только одна грань, хотя формула должна суммировать площади всех боковых треугольников. Сначала сложите длины всех сторон основания и получите P, затем примените Sбок = ½Pa. Проверка: при увеличении числа равных граней боковая площадь должна учитывать каждую из них.
В теореме Пифагора берут половину бокового ребра вместо расстояния от центра основания до стороны. Эти отрезки относятся к разным прямоугольным треугольникам и не взаимозаменяемы. Для связи высоты пирамиды с апофемой нужно сечение через центр основания и середину стороны. Проверьте, что катет в основании сечения перпендикулярен стороне и равен радиусу вписанной окружности.
Для изучения правильной пирамиды нужно знать правильные многоугольники и то, как в них расположены центры и радиусы вписанной и описанной окружностей. При решении задач используются теорема Пифагора, формулы площадей многоугольников и свойства равнобедренного треугольника. Эти знания позволяют находить апофему и площадь поверхности по отдельным элементам. Позже свойства пирамиды пригодятся при изучении её объёма, поверхностей многогранников и задач на сечения.
Чем правильная пирамида отличается от произвольной?
У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а основание её высоты совпадает с центром этого многоугольника. Поэтому боковые рёбра равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники. У произвольной пирамиды эти свойства могут не выполняться.
Где находится основание высоты правильной пирамиды?
Оно находится в центре правильного многоугольника, лежащего в основании пирамиды. Высота соединяет вершину пирамиды с этим центром и перпендикулярна плоскости основания.
Что называют апофемой пирамиды?
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая из вершины к стороне основания. Она лежит в боковой грани, поэтому не совпадает с высотой всей пирамиды.
Почему боковые грани правильной пирамиды равны?
Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник: её боковые стороны являются равными боковыми рёбрами пирамиды. Основания этих треугольников — стороны одного правильного многоугольника, значит, они тоже равны. Следовательно, все боковые грани равны.
Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
Сложите площади всех боковых граней или воспользуйтесь формулой Sбок = ½Pa, где P — периметр основания, а a — апофема. Формула получается из суммы площадей треугольников с общей высотой-апофемой.
2.2. Правильная пирамида
