"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Правильная пирамида — многогранник с правильным многоугольником в основании и вершиной, расположенной над его центром. Благодаря симметрии её боковые рёбра и грани равны, а площадь боковой поверхности можно быстро найти по периметру основания и апофеме. Разобравшись, где проходят высота и апофема, легче решать задачи на площади, длины отрезков и углы в многогранниках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Правильная пирамида — пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а высота проходит через центр основания. Иначе говоря, вершина расположена над центром многоугольника, хотя сама может находиться на любом расстоянии от плоскости основания. Это определение позволяет использовать симметрию основания и находить общие свойства боковых рёбер и граней.
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к стороне основания. Обозначим её, например, l; она перпендикулярна стороне основания, но не является высотой всей пирамиды. Апофема нужна для вычисления площади боковой поверхности и связи элементов пирамиды в прямоугольном треугольнике.
Боковая поверхность пирамиды — совокупность всех её боковых граней, без основания. Для правильной пирамиды площади граней складываются по одной и той же схеме, поэтому общую площадь можно выразить через периметр основания P и апофему l: Sбок = ½Pl. Формула удобна, когда известны периметр и высота боковой грани.
Полная поверхность пирамиды состоит из боковой поверхности и основания. Если площадь основания обозначить Sосн, то Sполн = Sбок + Sосн. Это различие помогает понять, какую именно площадь спрашивают в задаче: только боковых граней или всей наружной поверхности многогранника.
Почему высота правильной пирамиды попадает именно в центр основания? По определению основание — правильный многоугольник, у которого есть центр, равноудалённый от всех вершин. Если вершина пирамиды находится на перпендикуляре к плоскости основания, проведённом через этот центр, то расстояния от вершины пирамиды до вершин основания получаются одинаковыми. Это следует из теоремы Пифагора: у соответствующих прямоугольных треугольников один катет — высота пирамиды, а второй — радиус описанной окружности основания. Значит, все боковые рёбра равны.
Равенство боковых граней также связано с симметрией основания. У правильного многоугольника все стороны равны, а боковые рёбра пирамиды, как мы выяснили, имеют одинаковую длину. Поэтому каждая боковая грань — треугольник с тем же набором длин сторон: два равных боковых ребра и одна сторона основания. Такие треугольники равны по трём сторонам, даже если расположены в разных плоскостях. Следовательно, боковые грани правильной пирамиды равны между собой.
В каждой боковой грани можно провести высоту к её основанию — стороне многоугольника. Поскольку грань равнобедренная, эта высота делит основание пополам и одновременно является медианой. Равные треугольники при поворотах вокруг оси пирамиды переходят друг в друга, поэтому их высоты к сторонам основания тоже равны. Именно общую длину этих высот называют апофемой правильной пирамиды; она измеряется внутри боковой грани, а не от вершины к вершине основания.
Высота пирамиды, апофема основания и апофема пирамиды образуют прямоугольный треугольник. Чтобы увидеть его, обозначим вершину пирамиды S, центр основания O, середину стороны основания M. Отрезок SO — высота, OM — апофема основания, то есть перпендикулярное расстояние от центра до стороны, а SM — апофема пирамиды. Треугольник SOM прямоугольный при O: SO перпендикулярен плоскости основания, а OM лежит в этой плоскости. Поэтому SM² = SO² + OM².
Площадь боковой поверхности получают сложением площадей всех боковых граней. Если сторона основания имеет длину a, а апофема пирамиды равна l, то площадь одной грани равна ½al: высота этого треугольника равна l. Складывая такие площади, можно вынести общий множитель ½l, а сумму длин оснований треугольников заменить периметром основания P. Так получается формула Sбок = ½Pl; чтобы найти полную поверхность, к результату прибавляют площадь основания.
| Что рассматриваем | Описание или свойство |
|---|---|
| Основание | Правильный многоугольник; его центр равноудалён от вершин и сторон. |
| Высота и её основание | Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания; попадает в центр основания. |
| Боковые рёбра | Равны между собой. |
| Боковые грани | Равные равнобедренные треугольники. |
| Апофема | Высота боковой грани, проведённая к стороне основания. |
| Площадь боковой поверхности | Sбок = ½Pl, где P — периметр основания, l — апофема пирамиды. |
| Площадь полной поверхности | Sполн = Sбок + Sосн. |
Таблица помогает сначала определить нужный элемент, а затем выбрать подходящее свойство или формулу. Для площади боковой поверхности нужны периметр основания и апофема пирамиды; для полной — ещё и площадь основания. Если требуется найти апофему через высоту, используйте прямоугольный треугольник с апофемой основания.
Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной 6 см. Найдём периметр основания и число боковых граней. Квадрат имеет четыре равные стороны, поэтому периметр равен четырём сторонам, а боковая грань соответствует каждой стороне основания. Так определение пирамиды связывает число сторон основания с числом боковых граней.
Ответ: периметр основания равен 24 см, число боковых граней — 4.
У правильной треугольной пирамиды сторона основания равна 8 см, апофема — 5 см. Нужно найти площадь боковой поверхности. Здесь не требуется высота пирамиды: апофема уже дана, а периметр основания можно найти по трём равным сторонам. Затем применяем формулу, выведенную для суммы площадей боковых граней.
Ответ: площадь боковой поверхности равна 60 см².
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 10 см, высота — 12 см. Требуется найти апофему и площадь боковой поверхности. Апофема основания квадрата — расстояние от его центра до стороны; оно равно половине стороны, то есть 5 см. Апофема пирамиды будет гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого составляют высота пирамиды и апофема основания.
Ответ: апофема равна 13 см, площадь боковой поверхности — 260 см².
Апофему иногда принимают за боковое ребро, потому что оба отрезка начинаются в вершине пирамиды. Но ребро соединяет вершину с вершиной основания, а апофема идёт к стороне основания и перпендикулярна ей внутри боковой грани. Проверьте, где заканчивается отрезок: у вершины многоугольника или на его стороне. Только во втором случае это апофема.
Другая ошибка — опускать высоту правильной пирамиды в вершину основания. Так делают, перенося привычную схему треугольной пирамиды на любой многогранник, но это противоречит определению правильной пирамиды. Высота перпендикулярна плоскости основания и проходит через центр правильного многоугольника. Для проверки найдите центр основания: в нём должна находиться точка пересечения высоты с плоскостью.
В формуле площади боковой поверхности вместо периметра иногда подставляют сторону основания или его площадь. Причина — в площади одной грани действительно участвует сторона треугольника, но при сложении граней складываются все стороны основания. Поэтому формула содержит полный периметр P, а не длину одной стороны и не Sосн. Перед вычислением запишите, что именно обозначают данные задачи, и проверьте единицы: у периметра единицы длины.
При вычислении полной поверхности можно остановиться на сумме площадей боковых граней и забыть основание. Это происходит, когда формулу Sполн путают с формулой Sбок. Сверьте результат с вопросом: слово «полная» означает все внешние грани, включая основание. Значит, нужно прибавить Sосн и проверить, что складываются величины одной размерности — площади.
Для работы с правильной пирамидой нужны определения пирамиды и правильного многоугольника, а также понимание того, где находится центр основания. Формулы площадей многоугольников помогают найти площадь основания и перейти от боковой поверхности к полной. Теорема Пифагора связывает высоту пирамиды, апофему основания и апофему пирамиды.
Эти знания пригодятся в задачах на площади поверхностей многогранников, вычисление высот и апофем, а также на углы между отрезками и плоскостями. Умение выбирать прямоугольный треугольник внутри пирамиды помогает находить недостающие длины. Те же приёмы можно применять в задачах о других многогранниках, если их элементы образуют прямоугольные треугольники.
Чем апофема пирамиды отличается от её высоты?
Высота пирамиды — перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Апофема — высота боковой грани, проведённая от вершины пирамиды к стороне основания. Они лежат в разных плоскостях и обычно имеют разную длину.
Куда опускается высота правильной пирамиды?
Она опускается в центр правильного многоугольника, лежащего в основании. Поэтому основание высоты равноудалено от всех вершин основания.
Почему боковые грани правильной пирамиды равны?
Центр правильного основания равноудалён от его вершин, а боковые рёбра образуют с высотой равные прямоугольные треугольники. Поэтому боковые рёбра равны; вместе с равными сторонами основания это даёт равные боковые треугольники.
Как найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды?
Нужно периметр основания умножить на апофему пирамиды и разделить на 2: Sбок = ½Pl. Здесь P — периметр основания, l — апофема. Формула получается сложением площадей равных боковых граней.
Как связаны высота пирамиды, апофема основания и апофема пирамиды?
Они образуют прямоугольный треугольник: катеты — высота пирамиды и апофема основания, а гипотенуза — апофема пирамиды. Поэтому l² = h² + r², где h — высота, r — апофема основания.
33. Правильная пирамида
