32. Пирамида

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, основание которого является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной вне плоскости основания. Иначе говоря, берут многоугольник и точку над его плоскостью, затем соединяют точку с вершинами многоугольника. Это определение помогает отличить пирамиду от других многогранников и увидеть, из каких частей она состоит.

Боковая грань — треугольная грань пирамиды, соединяющая её вершину с одной из сторон основания. Сторона основания становится одним из рёбер этого треугольника, а общая вершина пирамиды — его третьей вершиной. Понятие нужно, чтобы разбирать строение боковой поверхности и находить её площадь.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, и его длина. Точка, в которой перпендикуляр пересекает плоскость, называется основанием высоты и может находиться не в вершине многоугольника. Высота нужна для измерения расстояния от вершины до основания и для решения задач с прямоугольными треугольниками.

Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани. Она проведена от вершины пирамиды к стороне основания под прямым углом и лежит внутри этой грани. Апофему используют, например, при вычислении площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Как это устроено

Пирамиду можно мысленно построить из многоугольника-основания и точки, не лежащей в его плоскости. Если соединить эту точку с каждой вершиной многоугольника, появятся боковые рёбра, а соседние рёбра вместе со стороной основания образуют треугольную грань. Такой способ построения объясняет, почему все боковые грани сходятся в одной вершине, а основание остаётся отдельным многоугольником.

Каждой стороне основания соответствует одна боковая грань, поэтому число боковых граней равно числу сторон основания. У каждой вершины основания есть боковое ребро, соединяющее её с вершиной пирамиды, так что боковых рёбер тоже столько же, сколько сторон. Если основание имеет n сторон, такую фигуру называют n-угольной пирамидой: например, основание-пятиугольник задаёт пятиугольную пирамиду.

Высота связывает вершину с плоскостью основания, а не обязательно с какой-либо его вершиной. Перпендикуляр может попасть внутрь многоугольника, на его сторону или даже за пределы основания — это зависит от формы и положения пирамиды. Боковое ребро обычно наклонено к плоскости основания, поэтому его длина не равна высоте; перпендикулярность проверяют именно относительно всей плоскости.

Чтобы пирамида была правильной, одного правильного основания недостаточно: вершина должна располагаться так, чтобы высота проходила через центр основания. Тогда расстояния от этого центра до всех вершин основания равны, и боковые рёбра имеют одинаковую длину. В результате соответствующие боковые грани равны и каждая из них является равнобедренным треугольником.

Апофема в правильной пирамиде идёт от вершины боковой грани к середине стороны основания и перпендикулярна этой стороне. Если провести сечение через вершину пирамиды, центр основания и середину его стороны, получится прямоугольный треугольник. Его катеты — высота пирамиды и расстояние от центра основания до стороны, а гипотенуза — апофема; поэтому её можно найти по теореме Пифагора.

Элементы пирамиды и их признаки

Сопоставляй элемент с его расположением и свойством: это помогает не путать высоту, боковое ребро и апофему. В последнем столбце указано соотношение, которое можно использовать для подсчёта элементов или решения задач. Для обычной пирамиды часть свойств правильной пирамиды не выполняется.

Разбор задач

Основание пирамиды — пятиугольник. Сколько у неё боковых граней и боковых рёбер?

1. У пятиугольника пять сторон и пять вершин.
2. К каждой стороне основания прилегает одна боковая грань, значит, граней пять.
3. От вершины пирамиды к каждой вершине основания идёт боковое ребро, значит, рёбер тоже пять.

Ответ: 5 боковых граней и 5 боковых рёбер.

В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 6, а высота — 4. Найдите апофему.

1. Основание — квадрат, поэтому расстояние от его центра до середины стороны равно половине стороны: 6 : 2 = 3.
2. Сечение через вершину, центр квадрата и середину стороны даёт прямоугольный треугольник. Его катеты равны высоте 4 и найденному расстоянию 3.
3. По теореме Пифагора апофема равна √(4² + 3²) = √25 = 5.

Ответ: 5.

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро — 5. Найдите высоту пирамиды и её апофему.

1. Основание — равносторонний треугольник. Его центр находится на расстоянии 2√3 от вершины, поскольку радиус описанной окружности равен стороне, делённой на √3: 6 : √3 = 2√3.
2. Боковое ребро, высота пирамиды и этот радиус образуют прямоугольный треугольник. Поэтому высота равна √(5² − (2√3)²) = √13.
3. Чтобы найти апофему, рассмотрим сечение к середине стороны основания. Расстояние от центра равностороннего треугольника до стороны равно √3; апофема равна √((√13)² + (√3)²) = √16 = 4.

Ответ: высота √13, апофема 4.

Типичные ошибки

Ошибка: называть боковое ребро высотой пирамиды. Их можно спутать, потому что оба отрезка выходят из вершины пирамиды, но боковое ребро заканчивается в вершине основания, а высота перпендикулярна всей плоскости основания. Проверь себя: если отрезок не образует прямой угол с плоскостью основания, это не высота.

Ошибка: считать, что высота правильной пирамиды падает в вершину основания. Так думают, перенося на пирамиду привычное представление о наклонном боковом ребре. У правильной пирамиды основание высоты находится в центре правильного многоугольника, поэтому на чертеже отметь именно этот центр.

Ошибка: принимать апофему за боковое ребро. Оба отрезка лежат на боковой поверхности, однако ребро соединяет вершины, а апофема является высотой треугольной грани. Проверка простая: апофема перпендикулярна стороне основания и приходит в её середину у правильной пирамиды.

Ошибка: считать правильной любую пирамиду с правильным основанием. Правильный многоугольник сам по себе не гарантирует, что вершина расположена над его центром, поэтому боковые грани могут различаться. Проверь, проходит ли высота через центр основания: без этого условия пирамида не является правильной.

Связь с другими темами

Для изучения пирамиды нужны понятия многоугольника и многогранника: они помогают распознавать основание, грани и рёбра. Также важно понимать, что значит перпендикуляр к плоскости, ведь именно так определяется высота. Теорема Пифагора связывает высоту, апофему и расстояние от центра основания до стороны в прямоугольном сечении.

Высота и апофема пригодятся в следующих задачах о пирамидах. Высота участвует в вычислении объёма, а апофема — в вычислении площади боковой поверхности правильной пирамиды. Поэтому сначала важно правильно находить эти отрезки на чертеже и не смешивать их с боковыми рёбрами.

Что запомнить

• Основание пирамиды — многоугольник, боковые грани — треугольники.
• Число боковых граней равно числу сторон основания.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.
• Боковые грани правильной пирамиды — равные равнобедренные треугольники.
• Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани.