124. Пирамида

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Иначе говоря, это пространственная фигура, у которой боковые треугольники сходятся в одной точке. Определение помогает отличить пирамиду от других многогранников и понять, какие грани входят в её состав.

Основание пирамиды — многоугольная грань, от которой строятся боковые грани. Именно по форме основания называют пирамиду: например, с треугольным или пятиугольным основанием. Основание нужно, чтобы описывать устройство фигуры и считать её элементы.

Боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину; эту точку называют вершиной пирамиды. В отличие от основания, боковые грани соединяют стороны многоугольника с общей вершиной. Это понятие позволяет установить, какие грани окружают основание.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания. Перпендикуляр образует с плоскостью основания прямой угол, а его длина показывает расстояние от вершины до этой плоскости. Высоту используют при дальнейшем изучении размеров и объёма пирамиды.

Как это устроено

Представим многоугольник и точку, которая не лежит в его плоскости. Если соединить эту точку с каждой вершиной многоугольника, появятся боковые рёбра, а между соседними рёбрами образуются треугольники. Многоугольник при этом остаётся основанием. Так получается пирамида, потому что её грани вместе образуют замкнутую пространственную фигуру.

Каждая боковая грань опирается на одну сторону основания, например на отрезок между двумя соседними вершинами. К концам этого отрезка проведены боковые рёбра, которые сходятся в вершине пирамиды, поэтому вместе с ним они образуют треугольник. Общая точка для всех таких треугольников одна и та же. Поэтому боковые грани не только треугольные, но и имеют общую вершину.

Пирамиду обозначают заглавными буквами: сначала называют её вершину, затем последовательно перечисляют вершины основания. Например, SABC обозначает пирамиду с вершиной S и треугольником ABC в основании. По такой записи можно найти основание и боковые рёбра: это отрезки от S к вершинам основания. Чтобы обозначение было понятным, вершины основания перечисляют по порядку вдоль его границы.

Пусть в основании лежит n-угольник, то есть многоугольник с n сторонами и n вершинами. Каждая сторона основания образует одну боковую грань, поэтому таких граней n. А каждую вершину основания соединяют с вершиной пирамиды отдельным боковым ребром, значит, боковых рёбер тоже n. Это соответствие позволяет считать элементы, не рисуя фигуру.

Высоту проводят из вершины пирамиды к плоскости основания под прямым углом. Точка, в которой перпендикуляр встречает плоскость, называется основанием высоты. Она может попасть внутрь многоугольника или за его границы: требование относится к плоскости, а не к самому многоугольнику. Поэтому высота не всегда выглядит как отрезок, расположенный внутри пирамиды.

Элементы пирамиды с n-угольным основанием

В таблице n обозначает число сторон основания. Подставь вместо n известное число, чтобы получить количество нужных элементов. Например, при n = 5 у пирамиды пять боковых граней и всего десять рёбер.

Разбор задач

Задача 1. У пирамиды четырёхугольное основание. Назовите её грани и рёбра. Обозначим вершину пирамиды S, а вершины основания — A, B, C, D в порядке обхода. Нужно учесть отдельно основание и боковые элементы.

1. Основание — четырёхугольник ABCD, потому что именно его стороны образуют нижнюю грань пирамиды.
2. Каждой стороне соответствует боковая грань: SAB, SBC, SCD и SDA. Вместе с основанием получаем пять граней.
3. Рёбра основания — AB, BC, CD, DA. Боковые рёбра соединяют S с вершинами основания: SA, SB, SC, SD.

Ответ: грани ABCD, SAB, SBC, SCD, SDA; рёбра AB, BC, CD, DA, SA, SB, SC, SD. Такой способ перечисления сначала отделяет основание от боковых элементов, поэтому ни один элемент не теряется.

Задача 2. Сколько вершин, граней и рёбер у пирамиды с шестиугольным основанием? Здесь число сторон основания n = 6. Применим к каждому вопросу соответствующее правило подсчёта.

1. Вершин основания шесть, а вершина пирамиды одна дополнительная: n + 1 = 6 + 1 = 7.
2. Боковых граней шесть, а вместе с основанием граней n + 1 = 7.
3. Рёбер основания шесть и боковых рёбер тоже шесть. Всего 2n = 2 · 6 = 12.

Ответ: 7 вершин, 7 граней и 12 рёбер. Проверка: число боковых рёбер равно числу вершин основания, потому что каждая из них соединена с вершиной пирамиды.

Задача 3. У пирамиды 18 рёбер. Сколько сторон у её основания и сколько у неё граней? Обозначим число сторон основания через n. Сначала найдём n по общему числу рёбер, а затем вычислим число граней.

1. Всего рёбер 2n: по n рёбер основания и боковых рёбер. Поэтому 2n = 18.
2. Разделим 18 на 2 и получим n = 9. Значит, основание — девятиугольник.
3. Всех граней n + 1: девять боковых и одно основание, то есть 9 + 1 = 10.

Ответ: у основания 9 сторон, у пирамиды 10 граней. Такой порядок решения удобен: сначала восстанавливаем число сторон основания по рёбрам, затем считаем грани.

Типичные ошибки

Считать основанием боковую треугольную грань. Так ошибаются, потому что все грани выглядят равноправными, если не указать положение фигуры. Основание — выбранная многоугольная грань, а остальные грани боковые. Проверь себя: боковые грани должны сходиться в общей вершине пирамиды.

Не прибавлять вершину пирамиды. Вершины основания лежат в одной плоскости, а вершина пирамиды находится вне неё. При подсчёте нужно добавить эту отдельную точку: всего вершин n + 1. Проверка проста: на рисунке найди точку, в которой сходятся боковые грани.

Считать, что рёбер столько же, сколько сторон основания. Это число относится только к рёбрам основания. Ещё есть столько же боковых рёбер, поэтому общее число равно 2n. Чтобы проверить подсчёт, перечисли нижние рёбра и отрезки, соединяющие вершину с основанием.

Называть боковое ребро высотой. Эти отрезки могут быть похожи, но боковое ребро соединяет две вершины фигуры, а высота перпендикулярна плоскости основания. Они совпадают не всегда. Проверь, образует ли отрезок прямой угол именно с плоскостью основания.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в пирамиде, нужно знать, что такое многоугольник, его стороны и вершины, а также грань, ребро и вершина многогранника. Для понимания высоты пригодятся перпендикуляр к плоскости и понятие расстояния от точки до плоскости. Позже эти знания помогут изучать другие многогранники, сравнивать их элементы и находить площади и объёмы.

Что запомнить

• Основание пирамиды — многоугольник.
• Все боковые грани пирамиды — треугольники.
• Боковые грани имеют общую вершину пирамиды.
• У пирамиды с n-угольным основанием n боковых граней и n боковых рёбер.
• У такой пирамиды n + 1 вершина и n + 1 грань.
• Общее число рёбер пирамиды равно 2n.
• Высота перпендикулярна плоскости основания.