47. Пирамида

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Такое определение помогает отличить пирамиду от других многогранников: у неё есть отдельное основание, а боковые треугольники сходятся в одной точке. Число сторон основания определяет устройство всей фигуры.

Основание пирамиды — многоугольная грань, от которой отходят боковые грани. Его обычно обозначают названием многоугольника, например ABCD, а общую вершину боковых граней — буквой S. Умение сразу находить основание на чертеже нужно, чтобы правильно отсчитывать грани и понимать, к какой плоскости проводят высоту.

Боковые грани — треугольные грани пирамиды, а боковые рёбра — отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. Например, если основание ABCD, а вершина S, то боковые рёбра — SA, SB, SC и SD. Это различение пригодится при подсчёте рёбер и при описании формы боковой поверхности.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания. Если вершина обозначена S, а основание перпендикуляра — H, высоту можно записать как SH, причём SH ⟂ плоскости основания. Она показывает кратчайшее расстояние от вершины до плоскости основания и не обязательно совпадает с каким-либо ребром.

Как это устроено

Чтобы получить пирамиду, сначала выбирают многоугольник, который будет основанием, а затем точку вне его плоскости. Соединяют эту точку с каждой вершиной многоугольника: получившиеся отрезки становятся боковыми рёбрами. Каждая сторона основания вместе с двумя рёбрами, идущими к её концам, ограничивает треугольную боковую грань, поэтому все эти треугольники встречаются в выбранной точке.

Пусть у основания n сторон и, следовательно, n вершин. Из общей вершины пирамиды к каждой вершине основания ведёт одно боковое ребро, поэтому боковых рёбер n; каждой стороне основания соответствует одна боковая грань, значит, их тоже n. Вместе с основанием получаем n + 1 грань. Рёбра состоят из n рёбер основания и n боковых, то есть всего 2n.

На чертеже вершина пирамиды — точка, где сходятся боковые грани, а основание — многоугольник, лежащий отдельно от неё. Боковые рёбра идут от вершины к углам основания; линии, которые закрыты гранями, обычно изображают штриховыми. Высоту отмечают из вершины к плоскости основания значком прямого угла: просто наклонный отрезок от вершины к основанию высотой не становится.

Основание высоты может оказаться за пределами многоугольника, потому что перпендикуляр проводят именно к плоскости основания, а не обязательно внутрь самого многоугольника. Например, проекция вершины может попасть на продолжение стороны или на участок плоскости снаружи основания. Поэтому, определяя высоту, сначала проверяют прямой угол с плоскостью, а уже затем — где лежит основание перпендикуляра.

Правильная пирамида — это пирамида, основание которой является правильным многоугольником, а высота проходит через центр основания. Центр правильного многоугольника равноудалён от его вершин, поэтому при такой высоте боковые рёбра получаются равными. Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая от общей вершины к стороне основания; она перпендикулярна этой стороне.

В правильной пирамиде высота, радиус вписанной в основание окружности и апофема образуют прямоугольный треугольник. Радиус проведён от центра основания к середине его стороны, а апофема соединяет эту середину с вершиной пирамиды. Поскольку высота перпендикулярна плоскости основания, она перпендикулярна радиусу; поэтому для апофемы l, высоты h и радиуса r верно l² = h² + r².

Элементы пирамиды с n-угольным основанием

Чтобы пользоваться таблицей, обозначьте число сторон основания буквой n и подставьте его в нужную строку. Вершины основания и рёбра основания считаются отдельно от общей вершины и боковых рёбер. Проверка: число всех рёбер должно складываться из двух равных групп по n.

Разбор задач

Задача 1. Подсчёт элементов

У пирамиды основание — пятиугольник. Требуется определить число боковых граней, боковых рёбер, всех граней и всех рёбер. Пятиугольник имеет пять сторон, поэтому в формулах для пирамиды с n-угольным основанием нужно взять n = 5. Подсчитываем каждый элемент по его связи со сторонами основания.

1. Поскольку каждой стороне основания соответствует боковая грань, боковых граней 5.
2. К каждой из пяти вершин основания идёт боковое ребро, значит, боковых рёбер тоже 5.
3. Всего граней n + 1 = 5 + 1 = 6, так как к пяти боковым добавляется основание.
4. Всего рёбер 2n = 2 · 5 = 10: пять принадлежат основанию, ещё пять являются боковыми.

Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер, 6 граней всего и 10 рёбер всего. Проверить результат можно, перечислив отдельно рёбра основания и боковые рёбра. Если сложить эти две группы, должно получиться найденное общее число.

Задача 2. Изображение четырёхугольной пирамиды

Нужно построить изображение четырёхугольной пирамиды и обозначить вершину, основание, боковые рёбра и высоту. Удобно назвать основание ABCD, а общую вершину — S. Высоту следует показать отдельно от боковых рёбер: она должна быть перпендикулярна плоскости основания, а не просто соединять S с одним из углов.

1. Изобразите четырёхугольник ABCD как параллелограмм, чтобы передать его расположение в пространстве.
2. Поставьте точку S вне плоскости основания и соедините её с A, B, C и D. Полученные отрезки SA, SB, SC и SD — боковые рёбра.
3. Проведите из S перпендикуляр к плоскости ABCD и обозначьте основание перпендикуляра H. Отрезок SH — высота; возле H отметьте прямой угол.
4. Если некоторые линии должны быть скрыты гранями, изобразите их штриховыми, сохранив обозначения элементов.

Ответ: основание — ABCD, вершина — S, боковые рёбра — SA, SB, SC и SD, высота — SH, где SH ⟂ плоскости ABCD. Точка H может находиться внутри четырёхугольника или вне его, поэтому важно соблюдать условие перпендикулярности. На пространственном рисунке прямой угол обозначают условным значком, а не оценивают на глаз.

Задача 3. Апофема правильной пирамиды

В правильной треугольной пирамиде высота равна 8, а радиус вписанной окружности основания — 6. Требуется найти апофему. В правильной пирамиде центр основания, середина его стороны и вершина образуют прямоугольный треугольник: его катеты — высота и радиус, а гипотенуза — апофема.

1. Обозначим высоту h = 8, радиус r = 6, апофему — l.
2. По теореме Пифагора l² = h² + r², потому что высота перпендикулярна радиусу в плоскости основания.
3. Подставим данные: l² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100.
4. Длина апофемы положительна, поэтому l = √100 = 10.

Ответ: апофема равна 10. Проверка: при катетах 6 и 8 гипотенуза 10, поскольку 6² + 8² = 10². Важно использовать именно радиус вписанной окружности: он соединяет центр основания с серединой стороны и образует нужный прямоугольный треугольник.

Типичные ошибки

Ошибка — считать высотой боковое ребро. Ребро обычно наклонено к плоскости основания, а высота обязана быть перпендикулярной этой плоскости; путают их потому, что оба отрезка выходят из вершины пирамиды. Проверьте, отмечен ли прямой угол между выбранным отрезком и плоскостью основания: без него отрезок нельзя называть высотой.

Ошибка — путать основание пирамиды с её вершиной. Основание — многоугольник, а вершина — общая точка боковых граней; путаница возникает из-за слова «вершина», которое также используют для углов многоугольника. Для проверки найдите единственную точку, к которой сходятся все боковые треугольники, и отдельно выделите многоугольную грань.

Ошибка — полагать, что высота обязательно попадает внутрь основания. Перпендикуляр опускают на плоскость, а не непременно на сам многоугольник, поэтому его основание может находиться снаружи; такое заблуждение часто возникает по привычным рисункам. Проверьте положение точки пересечения перпендикуляра с плоскостью, не меняя условия о прямом угле.

Ошибка — называть пирамиду правильной только из-за правильного основания. По определению требуется также, чтобы высота проходила через центр основания; иначе расположение вершины может нарушить симметрию боковых граней. Самопроверка: найдите центр правильного многоугольника и убедитесь, что проекция вершины пирамиды попадает именно в него.

Связь с другими темами

Для изучения пирамиды нужны знания о многоугольниках и многогранниках: по ним распознают основание, грани и рёбра. Перпендикулярность прямой и плоскости помогает находить высоту, а теорема Пифагора — связывать её с радиусом основания и апофемой. Позже эти элементы понадобятся при вычислении площади поверхности и объёма пирамиды. Распознавание граней и рёбер также важно при построении сечений и решении других задач стереометрии.

Что запомнить

• Основание пирамиды — многоугольник, а боковые грани — треугольники.
• Все боковые грани имеют общую вершину.
• У пирамиды с n-угольным основанием n боковых граней и n боковых рёбер.
• Всего у такой пирамиды n + 1 грань и 2n рёбер.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• У правильной пирамиды высота проходит через центр правильного основания.
• Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани.