46. Прямоугольный параллелепипед

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. У произвольного параллелепипеда грани — параллелограммы, и они могут быть наклонными, а углы не обязаны быть прямыми. В прямоугольном параллелепипеде каждый угол каждой грани прямой. Это отличие позволяет применять к его граням свойства прямоугольника и теорему Пифагора.

Измерения прямоугольного параллелепипеда — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Обычно их называют длиной, шириной и высотой и обозначают a, b и c. Эти рёбра задают размеры фигуры в трёх направлениях, а все остальные рёбра равны одному из них. Обозначения помогают подставлять размеры в формулы, не путая их с диагоналями.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани. Её также называют пространственной диагональю; обычно её обозначают d. Диагональ грани соединяет противоположные вершины только одного прямоугольника и целиком лежит в его плоскости. Различать эти отрезки нужно, потому что для их вычисления используют разное число измерений.

Как это устроено

Двугранный угол образуют две грани с общим ребром. В прямоугольном параллелепипеде эти грани являются прямоугольниками, а общее ребро — стороной каждого из них. В прямоугольнике соседние стороны перпендикулярны, поэтому около общего ребра грани встречаются под прямым углом. Так объясняется, почему все двугранные углы фигуры прямые.

Противоположные грани параллелепипеда параллельны, а соответствующие стороны у них равны. Поскольку здесь грани ещё и прямоугольники, противоположные грани не только параллельны, но и равны как прямоугольники. Рёбра разбиваются на три группы: в каждой группе четыре параллельных и равных ребра. Именно поэтому достаточно измерить три ребра, выходящие из одной вершины: их длины описывают все двенадцать рёбер.

Рассмотрим грань со сторонами a и b: её диагональ вместе с этими сторонами образует прямоугольный треугольник. Если пространственная диагональ выходит из той же вершины, что и диагональ грани, они вместе с третьим ребром c также образуют прямоугольный треугольник. Прямой угол в нём расположен между диагональю грани и ребром c. Поэтому для вычисления пространственной диагонали можно применить теорему Пифагора к этому треугольнику.

Сначала теорема Пифагора для диагонали грани даёт d₁² = a² + b², где d₁ — диагональ прямоугольника со сторонами a и b. Для пространственной диагонали получаем d² = d₁² + c². Подставляем первое равенство во второе и получаем d² = a² + b² + c², а значит, d = √(a² + b² + c²). Так в формуле появляются квадраты всех трёх измерений, а не их сумма без квадратов.

Если известны три измерения, достаточно подставить их в формулу и извлечь квадратный корень. Если неизвестно, например, c, то из равенства следует c² = d² − a² − b², откуда c = √(d² − a² − b²). Перед извлечением корня проверьте, что подкоренное выражение положительно, а все длины записаны в одинаковых единицах. Полученное значение должно быть длиной, то есть положительным числом.

Основные свойства прямоугольного параллелепипеда

Таблица помогает выбрать формулу по тому, какой именно отрезок требуется найти: диагональ прямоугольной грани или пространственную диагональ. В последней формуле используются три измерения, а в формуле для грани — только две стороны этого прямоугольника. Перед подстановкой полезно подписать известные величины как a, b, c и проверить их единицы.

Разбор задач

Задача 1. Найти диагональ по трём измерениям

Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. Нужно найти пространственную диагональ. Все три числа — длины рёбер, выходящих из одной вершины, поэтому их можно подставить как a, b и c.

1. Записываем формулу: d² = a² + b² + c². Она следует из теоремы Пифагора для диагонали грани и затем для пространственной диагонали.

2. Подставляем значения: d² = 3² + 4² + 5² = 9 + 16 + 25 = 50. Единица здесь — квадратный сантиметр.

3. Извлекаем квадратный корень: d = √50 = 5√2 см. Берём положительный корень, потому что длина не может быть отрицательной.

Ответ: 5√2 см.

Задача 2. Найти неизвестное измерение

Два измерения параллелепипеда равны 6 см и 8 см, а пространственная диагональ — 13 см. Обозначим неизвестное третье измерение через c. Сначала выразим его из формулы диагонали, а затем проверим полученное значение.

1. Записываем формулу и переносим известные квадраты: c² = d² − a² − b². Здесь d = 13, a = 6, b = 8, поэтому c² = 13² − 6² − 8².

2. Вычисляем: c² = 169 − 36 − 64 = 69. Значит, c = √69 см, поскольку длина берётся положительной.

3. Проверяем условие: 69 больше нуля, поэтому корень существует и найденное измерение положительно. Приближённо √69 ≈ 8,3 см.

Ответ: √69 см (примерно 8,3 см).

Задача 3. Найти диагональ комнаты

Комната имеет размеры 3 м, 4 м и 12 м. Отрезок между противоположными углами комнаты моделируем пространственной диагональю прямоугольного параллелепипеда. Все размеры заданы в метрах, поэтому переводить единицы не требуется.

1. Обозначаем измерения: a = 3 м, b = 4 м, c = 12 м. Искомый отрезок — не диагональ одной стены, а диагональ всего помещения.

2. Используем формулу d² = a² + b² + c²: d² = 3² + 4² + 12² = 9 + 16 + 144 = 169. Следовательно, d = √169 м.

3. Находим положительный корень: d = 13 м. Такой же результат получится, если сначала найти диагональ пола, а затем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику с высотой комнаты.

Ответ: 13 м.

Типичные ошибки

Первая ошибка — принять диагональ грани за диагональ всего параллелепипеда. Это происходит потому, что оба отрезка соединяют несоседние вершины. Проверка простая: диагональ грани целиком лежит на одной прямоугольной грани, а пространственная диагональ проходит внутри фигуры между противоположными вершинами.

Вторая ошибка — складывать измерения или их квадраты без обоснования. Формула не получается из одного только перечисления размеров: она дважды следует из теоремы Пифагора. Запишите прямоугольный треугольник для диагонали грани, затем для пространственной диагонали — так станет ясно, почему в формуле стоят a², b² и c².

Третья ошибка — подставить диагональ грани вместо ребра, обозначенного одной из букв a, b или c. Диагональ грани уже зависит от двух сторон, поэтому такая подстановка меняет смысл формулы. Перед вычислением подпишите, где измерения-рёбра, а где диагональ; если используется диагональ грани, сначала найдите её по сторонам соответствующего прямоугольника.

Четвёртая ошибка — смешать единицы измерения или забыть извлечь корень. В формуле для d² складываются квадраты длин, значит, все исходные величины должны быть в одинаковых единицах, а результат до извлечения корня выражен в квадратных единицах. После вычисления d² извлеките положительный корень и проверьте, что единица диагонали совпадает с единицей измерений.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны определение параллелепипеда, свойства параллельных прямых и плоскостей, а также теорема Пифагора. Связь с прямоугольником особенно заметна при вычислении диагонали: сначала находят диагональ прямоугольной грани по двум её сторонам, затем используют её вместе с третьим измерением. Эти приёмы пригодятся в задачах на расстояния в пространстве и при вычислении размеров коробок, комнат и других прямоугольных тел.

Что запомнить

• Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
• Противоположные грани равны и параллельны.
• Из одной вершины выходят три взаимно перпендикулярных ребра.
• Три измерения прямоугольного параллелепипеда — длина, ширина и высота.
• Диагональ грани находят по теореме Пифагора для двух измерений.
• Для пространственной диагонали d² = a² + b² + c².