24. Прямоугольный параллелепипед

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. У него есть грани, рёбра и вершины; три ребра, выходящие из одной вершины, образуют прямой угол попарно. Это определение позволяет узнавать такую фигуру и использовать свойства прямоугольника для её изучения.

Грань — прямоугольник, который ограничивает часть поверхности тела; его стороны являются рёбрами, а концы сторон — вершинами. На чертеже вершины обычно обозначают заглавными буквами, а рёбра записывают как отрезки между ними, например AB. Такое обозначение помогает точно указывать, какие элементы сравниваются или входят в вычисление.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда — отрезок между двумя его вершинами. Диагональ грани лежит в одном прямоугольнике, а пространственная диагональ соединяет вершины, не принадлежащие одной грани, и проходит внутри тела. Различать эти отрезки нужно, чтобы выбрать правильную формулу и теорему Пифагора.

Измерения прямоугольного параллелепипеда — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Их обычно обозначают a, b и c или называют длиной, шириной и высотой; конкретное название зависит от того, как расположено тело. Эти три числа задают размеры всего параллелепипеда и позволяют вычислять длины его диагоналей и площади граней.

Как это устроено

Достаточно знать три ребра из одной вершины, потому что они задают длины по трём взаимно перпендикулярным направлениям. У параллелепипеда противоположные рёбра параллельны и равны, поэтому длина каждого другого ребра совпадает с длиной одного из заданных. Значит, по трём измерениям можно восстановить длины всех двенадцати рёбер и форму тела. При этом положение фигуры в пространстве может быть разным, но её размеры останутся теми же.

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда — прямоугольник по определению, а все его грани образуют три пары. В каждой паре противоположные грани имеют одинаковые стороны: эти стороны параллельны соответствующим рёбрам и равны им. Поэтому противоположные грани равны, а их плоскости параллельны. Например, если размеры тела a, b и c, то пары граней имеют стороны a и b, a и c, b и c.

Диагонали одной грани равны, потому что она является прямоугольником, а диагонали любого прямоугольника равны. Если стороны грани имеют длины a и b, то её диагональ dг служит гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами a и b. По теореме Пифагора dг² = a² + b², поэтому dг = √(a² + b²). Для других граней в формуле вместо a и b берут соответствующую пару измерений.

Пространственную диагональ находят, применяя теорему Пифагора последовательно. Сначала на грани со сторонами a и b вычисляют диагональ √(a² + b²); затем она вместе с третьим ребром c образует прямоугольный треугольник, где гипотенуза — пространственная диагональ d. Поэтому d² = (√(a² + b²))² + c² = a² + b² + c², откуда d = √(a² + b² + c²). Такой вывод показывает, почему нельзя просто складывать три измерения.

Пространственные диагонали равны, потому что каждая из них проходит между парой вершин, расстояние между которыми определяется одними и теми же тремя измерениями. Кроме того, диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам: у фигуры есть центр симметрии. Поэтому точка пересечения является серединой каждой пространственной диагонали. Это удобно, когда требуется найти расстояние от центра до вершины: оно равно половине диагонали.

Элементы и свойства прямоугольного параллелепипеда

В таблице сначала определите, какой элемент рассматривается: сторона грани, её диагональ или диагональ всего тела. Для диагонали грани используйте два измерения, которые задают эту грань, а для пространственной диагонали — все три. Запись помогает проверить, что в формулу подставлены нужные длины.

Разбор задач

Задача 1. У прямоугольного параллелепипеда три измерения равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите площади его граней и укажите пары равных граней. Каждая грань — прямоугольник, поэтому её площадь равна произведению длин двух сторон. Учитываем, что каждой грани соответствует равная ей противоположная грань.

1. Составим три произведения измерений: 3 · 4 = 12 см², 3 · 5 = 15 см², 4 · 5 = 20 см².
2. Каждое произведение задаёт площадь двух противоположных граней. Значит, получаем две грани площадью 12 см², две — 15 см² и две — 20 см².

Ответ: площади граней — 12 см², 15 см² и 20 см²; равны пары граней с площадями 12 см², 15 см² и 20 см².

Задача 2. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 6 см, 8 см и 10 см. Найдите диагональ грани, содержащей рёбра 6 см и 8 см, а затем пространственную диагональ. Сначала найдём диагональ указанной грани, поскольку она понадобится для построения прямоугольного треугольника внутри тела. Затем применим теорему Пифагора ещё раз, используя третье ребро как второй катет.

1. Для диагонали грани dг² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, поэтому dг = 10 см.
2. Пространственная диагональ удовлетворяет равенству d² = dг² + 10² = 100 + 100 = 200.
3. Извлекаем квадратный корень: d = √200 = 10√2 см.

Ответ: диагональ грани равна 10 см, пространственная диагональ — 10√2 см.

Задача 3. Пространственная диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, два измерения равны 3 см и 4 см. Найдите третье измерение. Формула диагонали связывает квадраты всех трёх измерений, поэтому после подстановки неизвестное можно выразить. В конце проверим, что полученное значение положительно и подходит к условию.

1. Обозначим третье измерение через c. Тогда 13² = 3² + 4² + c².
2. Вычислим: 169 = 9 + 16 + c², откуда c² = 144.
3. Длина ребра положительна, поэтому c = √144 = 12 см. Проверка: √(9 + 16 + 144) = √169 = 13.

Ответ: 12 см.

Типичные ошибки

Диагональ грани иногда принимают за пространственную диагональ, потому что обе соединяют вершины и изображаются наклонными отрезками. Но первая лежит в прямоугольнике-грани, а вторая соединяет вершины, не лежащие на одной грани. Проверьте, можно ли провести отрезок целиком по поверхности одной грани: если да, это диагональ грани. Если отрезок проходит через внутренность тела, перед вами пространственная диагональ.

Формулу пространственной диагонали могут записать как a + b + c или как a² + b² + c² без квадратного корня. Так происходит, если забыть, что теорема Пифагора связывает квадраты длин, а не сами длины. Правильная запись: d² = a² + b² + c², значит d = √(a² + b² + c²). Быстрая проверка: у результата должны быть единицы длины, а не площади.

Можно перепутать число граней, рёбер и вершин, особенно если считать только видимые на рисунке элементы. На изображении часть рёбер может быть показана пунктиром, но она всё равно принадлежит телу. Вспомните, что у прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. При подсчёте обойдите все стороны и углы фигуры, включая невидимые.

Ошибочно считать, что любые два ребра прямоугольного параллелепипеда перпендикулярны: прямой угол образуют три ребра, выходящие из одной вершины. Другие рёбра параллельны одному из них и могут не пересекаться с выбранным ребром. Чтобы проверить перпендикулярность, выясните, пересекаются ли прямые, содержащие рёбра, и образуют ли они прямой угол. Не переносите свойство трёх рёбер из одной вершины на все пары рёбер тела.

Связь с другими темами

Для работы с прямоугольным параллелепипедом пригодятся свойства параллелограмма и прямоугольника, а также знания о параллельных и перпендикулярных прямых и плоскостях. Теорема Пифагора связывает стороны прямоугольных треугольников и позволяет вычислять диагонали граней и всего тела. Позже те же представления о длинах и взаимном расположении элементов понадобятся при изучении углов и расстояний в пространстве, сечений многогранников и объёмов геометрических тел. Поэтому полезно сначала уверенно различать грань, ребро и диагональ.

Что запомнить

• У прямоугольного параллелепипеда 6 прямоугольных граней, 12 рёбер и 8 вершин.
• Три ребра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны.
• Противоположные грани равны и параллельны.
• Противоположные рёбра равны и параллельны.
• Диагонали каждой прямоугольной грани равны.
• Все пространственные диагонали равны и делятся пополам в точке пересечения.
• Если измерения равны a, b и c, то пространственная диагональ d = √(a² + b² + c²).