"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Перпендикулярные плоскости пересекаются и образуют прямой двугранный угол. Чтобы доказать, что две плоскости перпендикулярны, не нужно измерять угол между ними: достаточно найти в одной плоскости прямую, перпендикулярную другой. Этот признак помогает обосновывать взаимное расположение плоскостей в задачах о многогранниках. Главное — проверить и явно указать оба условия: где лежит выбранная прямая и какой плоскости она перпендикулярна.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Перпендикулярными называют две пересекающиеся плоскости, которые образуют прямой двугранный угол. Если плоскости обозначены α и β, записывают α ⟂ β. Это обозначение сообщает не только о том, что плоскости пересекаются, но и о величине угла между ними.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она образует прямой угол с каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. Пишут a ⟂ α, где a — прямая, α — плоскость. Определение помогает отличить перпендикулярность плоскости от перпендикулярности одной выбранной прямой.
Признак перпендикулярности двух плоскостей утверждает: если одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Например, если a лежит в α и a ⟂ β, то α ⟂ β. Признак нужен, чтобы доказать перпендикулярность плоскостей через более удобную прямую.
Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей границей. Его величину описывает линейный угол — угол между прямыми, проведёнными в этих полуплоскостях перпендикулярно общей границе. Когда линейный угол прямой, плоскости перпендикулярны; это позволяет связать определение с доказательством признака.
Пусть плоскость α содержит прямую a, перпендикулярную плоскости β. Такая прямая сразу задаёт направление, нормальное к β: она перпендикулярна всем прямым β, проходящим через точку пересечения. Поэтому в поиске угла между плоскостями можно не сравнивать множество прямых, а использовать одну прямую и известную перпендикулярность.
Перпендикулярность a плоскости β означает не просто прямой угол с одной линией в β. По определению a образует прямой угол с каждой прямой β, проходящей через точку пересечения a и β. В частности, она перпендикулярна общей прямой плоскостей α и β. Это важно, потому что именно положение относительно общей прямой помогает определить двугранный угол.
Через точку пересечения плоскостей можно провести прямую, перпендикулярную одной из них. Если такая прямая лежит в другой плоскости, она становится стороной линейного угла двугранного угла. Вторую сторону проводят в первой плоскости перпендикулярно общей прямой плоскостей. Так угол между плоскостями сводится к обычному углу между двумя прямыми.
Обоснуем признак через этот линейный угол. Прямая a лежит в α и перпендикулярна β, поэтому она перпендикулярна общей прямой α и β; для линейного угла в α можно взять именно a. В плоскости β другая сторона линейного угла перпендикулярна общей прямой, а a перпендикулярна всей плоскости β, значит, угол между сторонами прямой. Следовательно, линейный угол двугранного угла равен 90°, и плоскости перпендикулярны.
В обратном рассуждении начинают с уже известных перпендикулярных плоскостей. По определению их линейный угол прямой, поэтому в одной плоскости можно провести прямую, перпендикулярную общей прямой и образующую прямой угол с плоскостью другой. Такая прямая перпендикулярна другой плоскости. Это полезно для построения, но существование прямой следует обосновать, а не просто сослаться на признак в обратную сторону.
| Что рассматриваем | Условие | Вывод | Как использовать |
|---|---|---|---|
| Прямая и плоскость | Одна плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой | Плоскости перпендикулярны | Найти такую прямую и указать плоскость, которой она перпендикулярна |
| Обратное построение | Плоскости перпендикулярны и пересекаются | В одной плоскости существует прямая, перпендикулярная другой плоскости | Использовать для построения или обоснования перпендикулярности прямой и плоскости |
В первой строке проверьте, что выбранная прямая действительно принадлежит одной из плоскостей и перпендикулярна другой. Вторая строка описывает обратное построение: из перпендикулярности плоскостей можно выделить подходящую прямую. При решении задач эти направления рассуждения не следует смешивать.
Плоскость α содержит прямую a, перпендикулярную плоскости β. Определите взаимное положение α и β и обоснуйте ответ. В условии уже названы оба элемента, нужные для признака, поэтому дополнительных построений не требуется. Нужно правильно сопоставить прямую и плоскости.
Ответ: α ⟂ β. Здесь нельзя ограничиться фразой «плоскости перпендикулярны по рисунку»: вывод получен из условия и признака.
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что плоскости ABCD и ABB₁A₁ перпендикулярны. Ищем прямую в плоскости основания, перпендикулярную боковой плоскости. Удобно взять ребро AD: рёбра куба позволяют проверить его перпендикулярность к двум пересекающимся прямым боковой грани.
Ответ: ABCD ⟂ ABB₁A₁. Два шага здесь важны: сначала обоснована перпендикулярность ребра плоскости, затем применён признак для плоскостей.
В пирамиде с основанием ABCD высота SO перпендикулярна плоскости основания. Докажите, что плоскость, проходящая через SO и прямую основания, содержащую O, перпендикулярна плоскости основания. Пусть l — указанная прямая основания, а γ — плоскость, проходящая через SO и l. По условию O принадлежит основанию и высота SO опускается из S в O.
Ответ: плоскость γ перпендикулярна плоскости основания. Указание на прямую l нужно, чтобы задать γ вместе с SO; для самого применения признака достаточно установить, что γ содержит высоту SO.
Считать достаточным, что на чертеже плоскости выглядят перпендикулярными, — ошибка: пространственный рисунок может искажать углы. Так поступают, потому что на плоском изображении хочется сразу довериться внешнему виду. Проверьте себя: можете ли вы назвать прямую и доказать условия признака без опоры на рисунок?
Перпендикулярность прямой одной прямой в плоскости не означает перпендикулярность всей плоскости. Часто путают частный прямой угол с условием, которое должно выполняться для всех прямых плоскости через точку пересечения. Чтобы проверить себя, обоснуйте перпендикулярность плоскости, например, доказав перпендикулярность двум пересекающимся прямым в ней.
Нельзя указать прямую, перпендикулярную одной плоскости, и не проверить, лежит ли она в другой. Такая ошибка возникает, когда внимание сосредоточено только на углах, а принадлежность прямой плоскости считают очевидной. В записи доказательства явно укажите: «прямая … лежит в плоскости …».
Неверно применять признак в обратном направлении без обоснования нужной прямой. Известно, что перпендикулярные плоскости позволяют провести такую прямую, но этот факт требует отдельного рассуждения через линейный угол. Проверьте себя: указали ли вы, где проходит прямая и почему она перпендикулярна второй плоскости?
Для применения признака нужно знать, как доказывают перпендикулярность прямой и плоскости, в частности по двум пересекающимся прямым. Также понадобятся понятия пересекающихся плоскостей, двугранного угла и его линейного угла: через них объясняют, почему признак работает. В задачах о кубах и пирамидах признак связывает свойства рёбер и высот с взаимным расположением граней. Поэтому он помогает доказывать не только отношения между плоскостями, но и свойства многогранников.
Как по признаку доказать, что две плоскости перпендикулярны?
Найдите прямую, которая лежит в одной из плоскостей, и докажите, что она перпендикулярна другой плоскости. Тогда по признаку эти плоскости перпендикулярны. В доказательстве укажите оба условия.
Обязательно ли выбранная прямая должна лежать в одной из рассматриваемых плоскостей?
Да. По признаку прямая должна принадлежать одной плоскости и быть перпендикулярной другой. Если она не лежит в первой плоскости, применить этот признак нельзя.
Достаточно ли перпендикулярности прямой одной прямой в плоскости?
Нет. Перпендикулярность одной прямой плоскости означает, что она перпендикулярна всем прямым этой плоскости, проходящим через точку пересечения. Поэтому перпендикулярность всей плоскости нужно доказать, например, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Можно ли использовать признак, если плоскости не пересекаются?
Нет. Непересекающиеся плоскости в пространстве параллельны, а перпендикулярными называют пересекающиеся плоскости, образующие прямой двугранный угол. Условие признака само приводит к пересечению плоскостей.
Как найти подходящую прямую в задаче на куб или пирамиду?
Ищите ребро или высоту, которая лежит в одной из плоскостей и перпендикулярна другой. В кубе можно использовать перпендикулярность рёбер, а в пирамиде — свойство высоты быть перпендикулярной плоскости основания. Затем отдельно проверьте принадлежность прямой нужной плоскости.
23. Признак перпендикулярности двух плоскостей
