3.2. Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определения и обозначения

Перпендикулярные плоскости — это две пересекающиеся плоскости, образующие прямой двугранный угол. Их пересечение обязательно: параллельные плоскости перпендикулярными не называют. Это определение нужно, чтобы понимать, какое именно взаимное расположение плоскостей требуется доказать.

Двугранный угол образован двумя полуплоскостями с общей границей; общая граница называется ребром двугранного угла. В пространстве его образуют две пересекающиеся плоскости, взятые по одну сторону от ребра. Понятие помогает описать угол между плоскостями через фигуру, которая возникает при их пересечении.

Линейный угол двугранного угла — угол между лучами, проведёнными из одной точки ребра в гранях перпендикулярно ребру. Он показывает величину двугранного угла: эти углы равны. Линейный угол нужен, потому что обычный угол можно измерить, а по его величине определить, перпендикулярны ли плоскости.

Признак перпендикулярности двух плоскостей — теорема: если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Прямую в условии можно представить как «проверочный» объект, который связывает обе плоскости. Признак нужен для доказательства, когда строить линейный угол неудобно.

Как это устроено

У двух пересекающихся плоскостей есть ребро — прямая их пересечения. Само по себе пересечение не задаёт величину угла: плоскости могут сходиться под острым, тупым или прямым углом. Поэтому для определения угла проводят сечение, которое позволяет увидеть две прямые вместо двух плоскостей.

Сечение проводят плоскостью, перпендикулярной ребру пересечения. В каждой из исходных плоскостей это сечение оставляет прямую, перпендикулярную ребру; угол между полученными лучами является линейным углом двугранного угла. Величина двугранного угла определяется именно этим углом, поэтому при 90° плоскости перпендикулярны. Так пространственный вопрос сводится к знакомому углу между прямыми.

Чтобы получить линейный угол с помощью прямой, перпендикулярной плоскости, рассмотрим плоскость α с такой прямой a и другую плоскость β. Точка пересечения a с β лежит также в α, поэтому она принадлежит ребру пересечения α и β. Через эту точку можно рассматривать сечение, перпендикулярное ребру; прямая a в нём перпендикулярна ребру, а значит, образует сторону линейного угла.

Если a перпендикулярна β, то она перпендикулярна каждой прямой β, проходящей через точку пересечения. В частности, она перпендикулярна ребру α и β. В сечении, перпендикулярном ребру, другая сторона линейного угла также перпендикулярна ему и лежит в β; она перпендикулярна a. Получается прямой линейный угол, следовательно, α и β перпендикулярны.

В задачах часто рассуждают в обратном направлении: не строят угол между плоскостями, а ищут в одной из них прямую, перпендикулярную другой. Сначала проверяют, что прямая действительно лежит в выбранной плоскости, затем доказывают её перпендикулярность всей второй плоскости. После этого признак сразу даёт вывод о плоскостях.

Определение и признак перпендикулярности плоскостей

В таблице определение описывает, что значит перпендикулярность, а признак показывает, как её доказать. Если условие о прямой не дано явно, его можно подтвердить теоремой о перпендикулярности прямой и плоскости. Для проверки определения используют линейный угол двугранного угла.

Разбор задач

Задача 1. Даны две пересекающиеся плоскости. Их линейный угол двугранного угла равен 90°. Определите взаимное расположение плоскостей.

1. Линейный угол определяет величину двугранного угла, образованного плоскостями.
2. По условию этот угол прямой, то есть равен 90°. Значит, двугранный угол также прямой.
3. По определению такие пересекающиеся плоскости перпендикулярны.

Ответ: плоскости перпендикулярны.

Задача 2. Плоскость α содержит прямую a, перпендикулярную плоскости β. Докажите, что α и β перпендикулярны.

1. Проверяем условие признака: a лежит в α и перпендикулярна именно плоскости β.
2. Точка, в которой a пересекает β, принадлежит обеим плоскостям, поэтому находится на их линии пересечения. В сечении, перпендикулярном этой линии, a задаёт сторону линейного угла.
3. Поскольку a перпендикулярна β, она перпендикулярна прямой β в этом сечении. Линейный угол прямой, поэтому плоскости перпендикулярны по определению.

Ответ: α ⟂ β. Здесь признак использует условие о прямой, а связь с линейным углом объясняет, почему вывод верен.

Задача 3. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ докажите, что плоскости ABCD и ABB₁A₁ перпендикулярны.

1. В кубе боковое ребро AA₁ перпендикулярно двум пересекающимся прямым AB и AD, лежащим в плоскости основания ABCD.
2. По теореме о перпендикулярности прямой и плоскости получаем AA₁ ⟂ ABCD. При этом AA₁ лежит в плоскости ABB₁A₁.
3. Одна из рассматриваемых плоскостей содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Применяем признак.

Ответ: ABCD ⟂ ABB₁A₁.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что достаточно найти в каждой плоскости по одной перпендикулярной прямой. Эти прямые могут быть перпендикулярны друг другу, но это ещё не доказывает перпендикулярность плоскостей. Такое рассуждение возникает из-за смешения условия о двух прямых с условием признака. Проверьте: есть ли прямая в одной плоскости, перпендикулярная всей другой плоскости?

Ошибка: путать перпендикулярность прямой и плоскости с перпендикулярностью прямой и одной прямой этой плоскости. Даже если прямая перпендикулярна выбранной прямой, с остальными направлениями плоскости она может образовывать не прямые углы. Проверка состоит в обосновании перпендикулярности двум пересекающимся прямым плоскости, проведённым через точку пересечения.

Ошибка: объявлять плоскости перпендикулярными только потому, что они пересекаются. Пересечение сообщает лишь, что у плоскостей есть общая прямая, но ничего не говорит о величине двугранного угла. Чтобы подтвердить вывод, найдите прямой линейный угол или примените признак перпендикулярности.

Ошибка: применить признак, не проверив, что прямая лежит в одной из рассматриваемых плоскостей. Прямая может быть перпендикулярна второй плоскости, но проходить вне первой — тогда условие теоремы не выполнено. Перед выводом назовите обе плоскости и явно укажите, в какой из них лежит прямая.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, что значит перпендикулярность прямой и плоскости. Её часто доказывают по теореме: достаточно установить перпендикулярность прямой двум пересекающимся прямым плоскости, проходящим через одну точку. Также понадобятся понятия двугранного угла, его ребра и линейного угла. Признак используют в задачах о многогранниках, в частности при доказательстве перпендикулярности граней, и при построении сечений.

Что запомнить

• Перпендикулярные плоскости пересекаются под прямым двугранным углом.
• Величина двугранного угла определяется величиной его линейного угла.
• Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то плоскости перпендикулярны.
• Для применения признака нужно указать и прямую, и плоскость, которой она перпендикулярна.
• Признак позволяет доказать перпендикулярность плоскостей без непосредственного построения линейного угла.