"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, все грани которой являются прямоугольниками. Его можно описать тремя измерениями: длиной, шириной и высотой. Зная их, легко найти диагональ любой грани и диагональ всего тела, применив теорему Пифагора. Эти свойства помогают решать задачи о расстояниях в пространстве и служат основой для координатного метода.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. Его вершины часто обозначают ABCDA₁B₁C₁D₁: нижняя грань — ABCD, верхняя — A₁B₁C₁D₁. Такое обозначение помогает ясно указывать, какие точки соединены отрезками.
Прямоугольники, ограничивающие тело, называются его гранями; отрезки, по которым грани пересекаются, — рёбрами, а концы рёбер — вершинами. У обозначенного параллелепипеда грани — ABCD, A₁B₁C₁D₁ и четыре боковые грани, например ABB₁A₁. Это различение нужно, чтобы не смешивать диагональ прямоугольной грани с диагональю всего тела.
Измерения прямоугольного параллелепипеда — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Их обычно обозначают a, b и c; например, у вершины A это могут быть AB, AD и AA₁. Эти три длины задают размеры всего тела, поэтому для вычислений достаточно знать именно их.
У параллелепипеда две противоположные грани на каждом из трёх направлений, поэтому всего получается шесть граней. Каждую пару противоположных граней образуют стороны, которые соответствуют друг другу в параллелограммах, а такие стороны равны и параллельны. В прямоугольном параллелепипеде соответствующие грани имеют одинаковые размеры, поэтому они равны и параллельны.
Соседние стороны прямоугольной грани перпендикулярны, поскольку по определению это прямоугольник. Значит, двугранный угол между соседними гранями тоже прямой: его линейный угол образован именно такими перпендикулярными сторонами. Рёбра из одной вершины принадлежат трём попарно соседним граням, поэтому каждая пара этих рёбер перпендикулярна.
Выберем одну вершину и обозначим длины выходящих из неё рёбер через a, b и c. Рёбра, параллельные выбранным, равны им, поэтому длины всех рёбер определяются этими тремя числами. Противоположные грани равны, и у каждой грани стороны имеют длины из того же набора a, b, c. Поэтому описать размеры параллелепипеда можно тремя измерениями, не перечисляя все его рёбра.
Рассмотрим прямоугольную грань со сторонами a и b. Её диагональ x является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого равны a и b. По теореме Пифагора x² = a² + b², следовательно, x = √(a² + b²). Для другой грани формула будет такой же, но в неё войдут длины именно её сторон.
Теперь возьмём диагональ тела d и диагональ грани x, стороны которой равны a и b. Вместе с третьим ребром длины c они образуют прямоугольный треугольник: x и c перпендикулярны, так как ребро c перпендикулярно плоскости этой грани. Поэтому d² = x² + c². Подставляя x² = a² + b², получаем d² = a² + b² + c², а значит, d = √(a² + b² + c²).
| Элемент или характеристика | Количество или обозначение | Основное свойство или соотношение |
|---|---|---|
| Вершины | 8 | Точки, в которых сходятся рёбра |
| Рёбра | 12 | Три длины: по четыре ребра каждого измерения |
| Грани | 6 | Прямоугольники; противоположные грани равны и параллельны |
| Три измерения | a, b, c | Длины трёх рёбер из одной вершины |
| Диагональ грани | x | Для сторон a и b: x = √(a² + b²) |
| Диагональ параллелепипеда | d | d = √(a² + b² + c²) |
Сначала определите, какую величину требуется найти: диагональ грани или всего тела. Затем выберите подходящую строку и подставьте длины сторон или измерений. Перед вычислениями проверьте, что все величины указаны в одинаковых единицах.
Задача 1. Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите диагональ одной из граней со сторонами 3 см и 4 см. Нужно работать только с указанной гранью: её диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см.
Ответ: 5 см. Третье измерение 5 см для этой диагонали не понадобилось: оно не является стороной выбранной грани.
Задача 2. Измерения параллелепипеда равны 2 см, 3 см и 6 см. Найдите его диагональ. Поскольку диагональ проходит через всё тело, одной диагонали грани недостаточно: нужно учесть все три взаимно перпендикулярных измерения.
Ответ: 7 см. Проверка по формуле показывает, что квадрат найденной длины равен сумме квадратов трёх измерений.
Задача 3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, два измерения — 3 см и 4 см. Найдите третье измерение. Обозначим его через c и применим формулу диагонали; поскольку неизвестна длина, в конце нужно выбрать положительный корень.
Ответ: 12 см. Подстановка проверяет результат: 3² + 4² + 12² = 169 = 13².
Диагональ грани иногда принимают за диагональ параллелепипеда. Первая лежит в одном прямоугольнике, а вторая проходит внутри тела между противоположными вершинами; путаница возникает из-за похожих слов. Перед вычислением назовите концы отрезка и проверьте, находится ли он целиком в одной грани.
Нельзя находить диагональ тела сложением трёх измерений. Такое действие кажется естественным, если представить путь по рёбрам, но диагональ — прямой отрезок, а не ломаная; нужно складывать квадраты измерений и извлекать корень. Для проверки сравните результат с самым длинным измерением: диагональ тела должна быть длиннее него, но не равна сумме всех рёберных длин.
Теорему Пифагора применяют только к сторонам выбранного прямоугольного треугольника. Если взять рёбра, не выходящие из одной вершины, они могут не быть катетами одного треугольника; эту ошибку помогает избежать схема с отмеченным прямым углом. Наконец, из равенства d² = a² + b² + c² нельзя забывать извлечь корень: квадратный корень нужен, чтобы получить длину, а не её квадрат.
Для понимания прямоугольного параллелепипеда нужны знания о параллелепипедах, параллельных прямых и плоскостях, а также о перпендикулярности в пространстве. При вычислении диагоналей используется теорема Пифагора, поэтому важно уверенно находить квадратный корень и преобразовывать равенства. Формула диагонали пригодится в задачах о расстоянии между точками в пространстве и при изучении координатного метода в стереометрии.
Сколько граней, рёбер и вершин у прямоугольного параллелепипеда?
У него 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Грани являются прямоугольниками, а рёбра соединяют соседние вершины.
Почему достаточно знать три измерения прямоугольного параллелепипеда?
Из одной вершины выходят три взаимно перпендикулярных ребра, длины которых задают три измерения. Остальные рёбра и размеры граней равны соответствующим из этих трёх величин.
Чем диагональ грани отличается от диагонали параллелепипеда?
Диагональ грани соединяет две противоположные вершины одного прямоугольника и лежит в этой грани. Диагональ параллелепипеда проходит внутри тела и соединяет противоположные вершины.
Как найти диагональ прямоугольного параллелепипеда?
Если его измерения равны a, b и c, то диагональ d находят по формуле d = √(a² + b² + c²). Формула получается из теоремы Пифагора.
Можно ли найти неизвестное измерение, если известны диагональ и два других измерения?
Да. Из равенства d² = a² + b² + c² вычтите квадраты известных измерений, а затем извлеките квадратный корень. Например, c = √(d² − a² − b²).
3.3. Прямоугольный параллелепипед
