24. Прямоугольный параллелепипед

Определения и обозначения

Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками. У него шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Каждая грань соприкасается с четырьмя другими, а её противоположная грань расположена напротив неё. Это определение помогает отличить такую фигуру от параллелепипеда, у которого грани могут быть наклонными параллелограммами.

Измерения прямоугольного параллелепипеда — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины; обычно их обозначают a, b и c. Эти рёбра попарно перпендикулярны, поскольку сходятся под прямыми углами. Остальные рёбра параллельны одному из выбранных и равны ему, поэтому новых длин не возникает. Трёх измерений достаточно, чтобы определить размеры всех граней и фигуры в целом.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани. Такой отрезок проходит внутри фигуры и называется пространственной диагональю. Диагональ грани, напротив, соединяет вершины одного прямоугольника и целиком лежит на его поверхности. Различие нужно учитывать, выбирая теорему Пифагора и составляя чертёж к задаче.

Куб — прямоугольный параллелепипед, все грани которого являются равными квадратами. В нём все три измерения равны, а значит, равны и все двенадцать рёбер. Куб не отдельный от прямоугольного параллелепипеда тип фигуры, а его частный случай. Поэтому свойства прямоугольного параллелепипеда применимы к кубу.

Как это устроено

Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны, потому что каждая пара таких граней образована параллельными равными рёбрами. В прямоугольном параллелепипеде эти грани ещё и прямоугольники, поэтому совпадают не только направления сторон, но и их длины. Рёбра, выходящие из одной вершины, перпендикулярны друг другу. Следовательно, соседние грани пересекаются под прямым углом, и все двугранные углы фигуры прямые.

Пусть из одной вершины выходят рёбра длиной a, b и c. Грани, построенные на парах этих рёбер, имеют стороны a и b, a и c либо b и c. Причина в том, что каждое ребро параллельно и равно соответствующему ребру на противоположной стороне фигуры. Таким образом, размеры трёх прямоугольников полностью задаются тремя измерениями. Например, площади граней равны ab, ac и bc.

Пространственные диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Это можно увидеть, рассматривая диагонали граней и примыкающие к ним рёбра: в возникающих прямоугольных треугольниках соответствующие катеты равны, поскольку противоположные рёбра равны. По признаку равенства прямоугольных треугольников получаем одинаковую длину пространственных диагоналей. Значит, какую бы подходящую пару противоположных вершин мы ни выбрали, расстояние между ними будет одним и тем же.

Формулу диагонали удобно вывести в два шага. На грани со сторонами a и b диагональ d₁ удовлетворяет равенству d₁² = a² + b² по теореме Пифагора. Пространственная диагональ d образует прямоугольный треугольник с этой диагональю грани и третьим измерением c, поэтому d² = d₁² + c². Подставляем первое равенство и получаем d² = a² + b² + c², а значит, d = √(a² + b² + c²).

Если все три измерения равны одному числу a, прямоугольный параллелепипед становится кубом. Его грани имеют стороны a и a, то есть являются равными квадратами. В формуле пространственной диагонали подставляем a вместо каждого измерения: d = √(a² + a² + a²) = a√3. Это частный результат общей формулы, а не отдельное правило без связи с ней.

Основные свойства прямоугольного параллелепипеда

Используйте таблицу как памятку: сначала определите, какое свойство требуется в задаче, затем выберите нужную строку. Для вычисления площади грани берите пару измерений, которые образуют её стороны. Для пространственной диагонали используйте все три измерения.

Разбор задач

Задача 1. У прямоугольного параллелепипеда измерения равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите площади трёх различных граней. Нужно не перемножать все три измерения: каждая грань — прямоугольник, для площади которого достаточно двух сторон. Каждой из трёх пар измерений соответствует один вид граней.

1. Пара сторон 3 см и 4 см задаёт площадь 3 · 4 = 12 см².
2. Пара сторон 3 см и 5 см задаёт площадь 3 · 5 = 15 см².
3. Пара сторон 4 см и 5 см задаёт площадь 4 · 5 = 20 см².

Ответ: 12 см², 15 см² и 20 см². Противоположные грани каждой пары имеют те же площади. Проверка: использованы все три возможные пары измерений.

Задача 2. Стороны основания равны 6 см и 8 см, высота — 3 см. Найдите диагональ основания и пространственную диагональ. Сначала ищем диагональ прямоугольного основания, потому что она станет катетом в треугольнике для следующего шага. Затем присоединяем к ней высоту и применяем теорему Пифагора ещё раз.

1. Обозначим диагональ основания d₁. По теореме Пифагора d₁² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
2. Получаем d₁ = 10 см, так как длина отрезка положительна.
3. Для пространственной диагонали d имеем d² = d₁² + 3² = 100 + 9 = 109.
4. Следовательно, d = √109 см.

Ответ: диагональ основания равна 10 см, пространственная диагональ — √109 см. Проверить результат можно общей формулой: d² = 6² + 8² + 3² = 109. Пространственная диагональ длиннее диагонали основания, что согласуется с её положением внутри объёмной фигуры.

Задача 3. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а два измерения — 3 см и 4 см. Найдите третье измерение. Искомую длину обозначим x, чтобы не подменять её известными значениями. Свяжем все три измерения с диагональю квадратами: именно такую форму имеет следствие теоремы Пифагора.

1. Записываем формулу: 13² = 3² + 4² + x².
2. Вычисляем квадраты: 169 = 9 + 16 + x², поэтому x² = 144.
3. Длина ребра положительна, следовательно, x = 12 см.

Ответ: третье измерение равно 12 см. Проверка: 3² + 4² + 12² = 9 + 16 + 144 = 169 = 13². Значит, найденная длина удовлетворяет условию задачи.

Типичные ошибки

Не путайте диагональ грани с диагональю параллелепипеда. Первая соединяет вершины одного прямоугольника, а вторая — вершины, не принадлежащие одной грани. Путаница возникает потому, что оба отрезка соединяют несоседние вершины. Перед вычислением проверьте, лежит ли отрезок на грани или проходит через объём фигуры.

Неверно считать, что все рёбра прямоугольного параллелепипеда равны. Равны только параллельные рёбра, тогда как рёбра трёх разных направлений могут иметь длины a, b и c. Ошибка появляется, если переносить на эту фигуру свойство куба. Для проверки сгруппируйте рёбра по направлениям: в каждой группе длины одинаковы.

Не записывайте квадрат диагонали как сумму самих измерений: верная формула содержит квадраты, d² = a² + b² + c². Это следует из теоремы Пифагора, где складываются квадраты катетов. Ошибка часто возникает при поспешной подстановке чисел. Проверьте запись по размерности: под корнем должны складываться квадраты длин, а не длины.

Не ограничивайтесь двумя измерениями, когда находите пространственную диагональ. Сумма a² + b² даёт квадрат диагонали соответствующей грани, но не всей фигуры. Третий катет — ещё одно измерение — появляется при втором применении теоремы Пифагора. Сверьте формулу с тем, что отрезок проходит и по длине, и по ширине, и по высоте.

Связь с другими темами

Для понимания прямоугольного параллелепипеда нужны свойства параллелепипеда и прямоугольника, а также знание о параллельных рёбрах и гранях. Они помогают распознать равные элементы фигуры и определить стороны каждой грани. Вывод диагонали опирается на теорему Пифагора и умение находить диагональ прямоугольника. Позже эти сведения пригодятся в задачах на расстояния и объёмы многогранников.

Что запомнить

• Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники.
• Противоположные грани равны и параллельны.
• Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
• У параллелепипеда три измерения — длины рёбер, выходящих из одной вершины.
• Все пространственные диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
• Квадрат диагонали равен сумме квадратов трёх измерений: d² = a² + b² + c².
• Куб — частный случай прямоугольного параллелепипеда с равными измерениями.