"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Трёхгранный угол образуют три луча с общим началом, не лежащие в одной плоскости. Он помогает описывать пространственные фигуры, у которых сходятся три грани, например вершины многогранников. У фигуры три ребра и три грани, а каждая грань задаёт плоский угол. Эти углы не могут быть произвольными: каждый меньше суммы двух остальных, а сумма всех трёх меньше 360°. Эти условия позволяют проверять, могут ли заданные углы составить трёхгранный угол.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Трёхгранный угол — фигура, образованная тремя лучами с общим началом, которые не лежат в одной плоскости. Лучи задают границы фигуры и расходятся от общей вершины в пространстве. Это определение отличает трёхгранный угол от обычного плоского угла и помогает представить объёмную часть пространства между его гранями.
Ребро трёхгранного угла — каждый из трёх лучей, ограничивающих фигуру. Например, если лучи выходят из точки O и проходят через точки A, B и C, рёбрами будут OA, OB и OC. Пары рёбер задают грани, поэтому обозначение рёбер позволяет точно назвать каждый плоский угол.
Грань трёхгранного угла — плоский угол, образованный двумя его рёбрами. Граней ровно три, потому что из трёх рёбер можно составить ровно три пары: OA и OB, OB и OC, OC и OA. Каждая пара образует одну грань, а третье ребро в её плоскость не входит.
Плоский угол трёхгранного угла — величина одного из углов его граней. Например, ∠AOB — плоский угол между рёбрами OA и OB. Его не следует путать с пространственным трёхгранным углом целиком: плоский угол измеряется в градусах, а весь объект занимает часть пространства.
Представь три луча, выходящие из одной точки O. Если они не лежат в общей плоскости, то никакая одна плоскость не может содержать их все, и между соседними парами рёбер возникают три плоские грани. Именно поэтому фигура получается пространственной, а не плоской. Каждая пара лучей задаёт свою грань: OA и OB, OB и OC, затем OC и OA.
Чтобы обозначить фигуру, называют её вершину и рёбра, например трёхгранный угол O с рёбрами OA, OB, OC. Его грани и плоские углы записывают по парам рёбер: ∠AOB, ∠BOC и ∠COA. Буква вершины стоит в середине обозначения угла, потому что она указывает общую точку двух лучей. Так можно не спутать угол одной грани с трёхгранным углом целиком.
Каждый плоский угол меньше суммы двух остальных. Чтобы увидеть причину, мысленно проведи сечение трёхгранного угла плоскостью, пересекающей все три ребра. Сечение образует треугольник, а длина каждой его стороны меньше суммы длин двух других. Стороны этого треугольника пропорциональны расстояниям от вершины до точек пересечения сечения с рёбрами; сравнение соответствующих направлений приводит к неравенству для углов между рёбрами. Поэтому для углов α, β, γ выполняются сразу три условия: α < β + γ, β < α + γ и γ < α + β.
Сумма трёх плоских углов меньше 360°. Это связано с тем, что грани окружают вершину, но не заполняют всю плоскость вокруг неё: между направлениями остаётся пространство, необходимое для объёмной фигуры. Если бы сумма была равна 360°, углы плоско расположились бы вокруг точки и не образовали бы трёхгранный угол; сумма больше 360° тоже невозможна. Следовательно, α + β + γ < 360°.
Эти ограничения позволяют проверять заданные углы. Сначала убедись, что каждый угол больше 0° и меньше 180°, затем проверь все три неравенства «один угол меньше суммы двух других» и, наконец, сложи углы. Нельзя проверять только самое большое значение или только сумму: отдельное неравенство может нарушаться даже при сумме меньше 360°. Например, для углов 40°, 60° и 110° общая сумма допустима, но условие для 110° не выполняется.
| Элемент или условие | Что означает | Что важно учитывать |
|---|---|---|
| Рёбра | Три луча с общим началом | Они не лежат в одной плоскости |
| Грани | Плоские углы, образованные парами рёбер | Всего три пары и три грани |
| Плоские углы | Углы отдельных граней | Каждый больше 0° и меньше 180° |
| Сравнение любых двух плоских углов | Каждый угол меньше суммы двух остальных | Проверяют все три неравенства |
| Сумма трёх плоских углов | Общая сумма углов граней | Строго меньше 360° |
Таблица помогает сначала назвать части фигуры, а затем проверить ограничения для её углов. При проверке чисел сравнивай каждый угол с суммой двух других, а не только два выбранных угла. После этого отдельно проверь общую сумму и то, что ни один угол не достигает 180°.
На рисунке изображены три луча с общим началом, не лежащие в одной плоскости. Обозначения точек на конкретном рисунке могут отличаться, поэтому сначала договоримся, что вершина — O, а лучи проходят через A, B и C. Нужно перечислить элементы, не называя гранью отдельный луч. Каждая грань определяется сразу парой рёбер.
Ответ: рёбра — OA, OB, OC; грани образованы парами OA и OB, OB и OC, OC и OA; плоские углы — ∠AOB, ∠BOC, ∠COA.
Пусть третий плоский угол равен x°. Требуется найти не одно значение, а промежуток возможных значений. Используем условия для каждого угла и ограничение на их общую сумму; также помним, что любой плоский угол меньше 180°. Строгие знаки важны: граничные значения не подходят.
Ответ: третий угол может быть любым, строго большим 30° и строго меньшим 170°.
Нужно установить, могут ли все три числа быть плоскими углами одного трёхгранного угла. Их сумма равна 210°, то есть меньше 360°, а каждый угол меньше 180°. Однако выполнение этих двух условий ещё не доказывает возможность: необходимо проверить неравенство для каждого угла. Достаточно найти одно нарушенное условие, чтобы получить отрицательный ответ.
Ответ: углы 40°, 60° и 110° не могут быть плоскими углами одного трёхгранного угла, хотя их сумма меньше 360°.
Называть гранью луч. Луч — это ребро, а грань образуется парой рёбер и является плоским углом. Путаница возникает, потому что и ребро, и грань ограничивают фигуру. Проверь себя: грань должна быть связана сразу с двумя лучами.
Сравнивать только два угла. Неравенство должно выполняться для каждого из трёх плоских углов. Часто проверяют лишь наибольший угол, но ошибку могут пропустить, если неверно выбрана пара для сравнения. Запиши все три условия отдельно и отметь каждое после проверки.
Считать допустимой сумму 360°. Для трёхгранного угла требуется строгое условие: сумма меньше 360°, а не меньше или равна этому числу. Равенство ошибочно принимают за допустимое из-за привычки включать границу в промежуток. Проверь знак: α + β + γ < 360°.
Полагать, что ограничения выполнены автоматически. Даже если сумма меньше 360° и все углы меньше 180°, одно из неравенств для отдельного угла может нарушаться. Так бывает, когда один угол слишком велик по сравнению с двумя другими. Перед выводом проверь каждый угол и сравни его с суммой оставшихся двух.
Для понимания темы нужны понятия луча, плоского угла и его градусной меры. Умение сравнивать углы и работать с неравенствами помогает проверять, возможны ли заданные значения. Трёхгранный угол служит простейшим примером многогранного угла — пространственной фигуры, образованной несколькими плоскими гранями с общей вершиной. Эти представления пригодятся при изучении многогранников и устройства их вершин.
Чем грань трёхгранного угла отличается от ребра?
Ребро — это один из трёх лучей, выходящих из общей вершины. Грань — плоский угол, который образуют два ребра.
Почему три луча должны быть некомпланарными?
Если все три луча лежат в одной плоскости, они не образуют объёмную фигуру вокруг общей вершины. Некомпланарность означает, что трёхгранный угол действительно расположен в пространстве.
Как обозначить плоские углы трёхгранного угла?
Если рёбра обозначены лучами OA, OB и OC, плоские углы записывают как ∠AOB, ∠BOC и ∠COA. Каждый из них расположен в грани, образованной соответствующей парой рёбер.
Почему каждый плоский угол меньше суммы двух других?
Сечение трёхгранного угла плоскостью, пересекающей все три ребра, даёт треугольник. Его стороны связаны с направлениями рёбер, и неравенство треугольника приводит к тому, что каждый угол между двумя рёбрами меньше суммы двух остальных плоских углов.
Как проверить, могут ли три заданных угла быть плоскими углами трёхгранного угла?
Проверьте, что каждый угол положителен и меньше 180°, каждый из трёх углов меньше суммы двух других, а общая сумма меньше 360°. Если хотя бы одно условие нарушено, такой трёхгранный угол невозможен.
25. Трехгранный угол
