26. Многогранный угол

Определения и обозначения

Многогранный угол — фигура, образованная несколькими плоскими углами с общей вершиной. Их стороны направлены так, что соседние углы имеют общие лучи, а все углы вместе образуют пространственную поверхность. Это понятие нужно, чтобы описывать форму вершины многогранника.

Вершина многогранного угла — общая вершина всех образующих его плоских углов. Она является единой точкой, от которой расходятся все рёбра. По этой точке удобно отсчитывать грани и изучать расположение фигуры.

Ребро многогранного угла — общий луч двух соседних плоских углов. Один и тот же луч принадлежит двум граням, которые встречаются вдоль него. Поэтому рёбра связывают соседние грани в единую фигуру.

Грань многогранного угла — плоский угол, образующий часть его поверхности. Стороны этого угла являются рёбрами многогранного угла. Грани показывают, какие плоские углы входят в состав пространственной фигуры.

Как это устроено

Представим несколько плоских углов, у которых одна точка является общей вершиной. Расположим их последовательно так, чтобы сторона одного угла совпадала со стороной следующего. Тогда общие лучи становятся рёбрами, а сами углы замыкают часть поверхности вокруг общей вершины.

Если образующих углов три, получаем трёхгранный угол: у него три грани и три ребра. При четырёх плоских углах будет четыре грани и четыре ребра, если они расположены циклически, без лишних совпадений. В общем случае число граней равно числу образующих углов, а число рёбер — числу общих сторон соседних граней.

Грани располагаются вокруг вершины в определённом порядке: первая граничит со второй, вторая — с третьей и так далее, а последняя — с первой. Поэтому каждое ребро принадлежит ровно двум соседним граням. Такая связь позволяет представить многогранный угол как пространственный аналог многоугольника, только все его вершины стянуты в одну точку.

Многогранный угол называют выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Проверять нужно именно все грани, потому что положение относительно одной плоскости ещё ничего не говорит о всей фигуре. Выпуклость означает, что поверхность не загибается внутрь и не создаёт выемок.

Плоские углы, образующие грани, называют плоскими углами многогранного угла. Их не следует путать с углами между гранями: последние характеризуют наклон двух плоскостей друг к другу, а плоский угол измеряется внутри одной грани. Для выпуклого многогранного угла сумма его плоских углов меньше 360°, потому что грани, расходясь от вершины, не могут заполнить полный оборот без потери выпуклости.

Элементы и свойства многогранного угла

Таблица помогает быстро сопоставить название элемента с его геометрическим смыслом. При решении задачи сначала найдите общую вершину, затем проследите общие лучи соседних граней. Для проверки выпуклости и суммы углов используйте последние две строки.

Разбор задач

Задача 1

Условие. На рисунке показаны три плоских угла с общей вершиной, расположенные последовательно. Нужно указать вершину, рёбра и грани образованного многогранного угла. Главное — не перепутать общие лучи с самими плоскими углами.

1. Обозначим общую точку трёх плоских углов буквой O. Она является вершиной многогранного угла, поскольку входит в каждый образующий угол.
2. Найдём общие стороны соседних углов. Каждый такой общий луч принадлежит двум граням, поэтому эти три луча являются рёбрами.
3. Каждый из трёх исходных плоских углов назовём гранью. Их последовательное расположение означает, что каждая грань соседствует с двумя другими.

Ответ: вершина — O; рёбра — три общих луча соседних плоских углов; грани — три данных плоских угла.

Задача 2

Условие. Плоские углы предполагаемого выпуклого многогранного угла равны 110°, 120° и 130°. Требуется определить, может ли такой угол существовать. Для выпуклого многогранного угла необходимо проверить строгое неравенство для суммы.

1. Сложим величины всех плоских углов: 110° + 120° + 130° = 360°.
2. Сравним результат с требованием теоремы. Для выпуклого многогранного угла сумма должна быть меньше 360°, а здесь она равна 360°.
3. Следовательно, необходимое условие нарушено. Равенство не подходит, поскольку оно не оставляет углового промежутка вокруг вершины.

Ответ: такой выпуклый многогранный угол существовать не может.

Задача 3

Условие. Плоские углы выпуклого многогранного угла равны 80°, 95°, 105° и 70°. Нужно найти их сумму и сделать вывод, который позволяет теорема. Результат следует использовать как проверку необходимого условия, а не как полное построение фигуры.

1. Сложим первые два угла: 80° + 95° = 175°.
2. Прибавим остальные: 175° + 105° + 70° = 350°.
3. Полученное число меньше 360°, поэтому необходимое условие выпуклости по сумме выполнено. Однако одного этого вычисления недостаточно, чтобы доказать существование конкретного многогранного угла: нужно ещё проверить пространственное расположение его граней.

Ответ: сумма равна 350°; противоречия с теоремой нет, но существование фигуры одной только этой суммой не доказывается.

Типичные ошибки

Некоторые называют гранью плоскость или двугранный угол. Так происходит потому, что грань действительно лежит в плоскости, но сама грань многогранного угла — это плоский угол с двумя сторонами-рёбрами. Проверьте себя: у грани должны быть вершина и два луча.

Иногда общую вершину и общую сторону соседних углов считают разными случайными элементами. На самом деле общая точка задаёт вершину, а общий луч — ребро. Чтобы не ошибиться, проследите, какие элементы принадлежат сразу нескольким соседним плоским углам.

Ошибочно считать любой многогранный угол выпуклым. Выпуклость проверяют относительно плоскости каждой грани, а не по внешнему виду или числу рёбер. Если хотя бы для одной грани часть фигуры оказывается по другую сторону её плоскости, угол не является выпуклым.

Ещё одна ошибка — допустить сумму плоских углов, равную или большую 360°. Для выпуклого многогранного угла требуется строгое неравенство: сумма должна быть меньше 360°. После сложения сравните результат именно со знаком «меньше», а не «меньше или равно».

Связь с другими темами

До изучения многогранного угла нужно знать, что такое плоский угол, луч, общая сторона углов и полуплоскость. Эти понятия помогают правильно распознать вершину, рёбра и грани. Без них трудно описать, как отдельные углы соединяются в пространстве.

Тема опирается на представления о плоскости и пространственном расположении фигур. Позже многогранные углы пригодятся при изучении вершин многогранников, углов между гранями и свойств выпуклых тел. Поэтому точное различение грани и угла между гранями особенно важно.

Что запомнить

• Многогранный угол составлен из нескольких плоских углов с общей вершиной.
• Общие стороны соседних плоских углов образуют рёбра.
• Плоские углы, входящие в состав многогранного угла, являются его гранями.
• Выпуклый многогранный угол лежит по одну сторону плоскости каждой своей грани.
• Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
• Условие о сумме меньше 360° необходимо, но само по себе не доказывает существование такого угла.