"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Многогранный угол образуют несколько лучей с общим началом: они задают рёбра, а пары соседних рёбер ограничивают грани. Такой объект помогает описывать, как сходятся плоские части многогранника у одной вершины. Его удобно изучать с помощью сечения: плоскость, пересекающая все рёбра, вырезает многоугольник. Для выпуклого многогранного угла сумма плоских углов строго меньше 360° — это важное условие при проверке задач.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранный угол образуют несколько лучей с общим началом. Они называются его рёбрами, а общее начало — вершиной. Лучи задают несколько частей пространства; выбранная часть и считается многогранным углом. Такое уточнение нужно, чтобы однозначно указать, какую область мы изучаем.
Грань многогранного угла — плоская часть, ограниченная двумя соседними рёбрами. Эти рёбра являются сторонами плоского угла грани. Грани показывают, какие именно пары рёбер соседствуют, поэтому их нельзя путать с отдельными лучами.
Плоский угол многогранного угла — угол каждой его грани. Если рёбра обозначены по порядку, плоские углы образуют пары соседних рёбер, например между первым и вторым, вторым и третьим и так далее, включая последнюю и первую пары. Это позволяет перечислить все углы, не пропустив грань.
Выпуклый многогранный угол вместе с любыми двумя своими точками содержит весь отрезок, соединяющий их. Иными словами, отрезок не выходит за пределы угла. Это свойство важно, потому что позволяет применять к сечению многогранного угла свойства выпуклого многоугольника.
Несколько лучей с общим началом расходятся в пространстве и делят его на части. Каждая часть ограничена плоскостями, проходящими через соседние лучи. Поэтому для задания многогранного угла нужно указать, какую именно часть пространства рассматривают: один и тот же набор лучей может ограничивать разные части.
Соседние рёбра лежат в одной плоскости и образуют грань, а угол между ними — плоский угол этой грани. Если обходить рёбра вокруг вершины по порядку, пары соседей сменяются одна за другой и в конце обхода возвращаются к начальной паре. Так замыкается последовательность граней. Ребро — это луч, грань — плоская часть между двумя рёбрами, а плоский угол — величина угла внутри этой грани.
Чтобы увидеть устройство угла на плоскости, проводят сечение плоскостью, пересекающей все его рёбра. На каждом ребре появляется точка пересечения, а соединённые по порядку точки образуют многоугольник. Его стороны соответствуют рёбрам исходного угла, вершины — граням, а углы многоугольника показывают плоские углы. Сечение превращает пространственную конструкцию в знакомую плоскую фигуру.
У выпуклого многогранного угла сумма плоских углов меньше 360°. В сечении углы многоугольника соответствуют плоским углам граней, и каждый внутренний угол выпуклого многоугольника меньше 180°, то есть меньше развернутого угла. Если углов n, их сумма меньше n · 180°, но для углов вокруг вершины действует более сильное ограничение — она меньше 360°. Поэтому сумма, равная 360° или превышающая её, сразу исключает выпуклый многогранный угол.
Это ограничение помогает проверять данные и находить неизвестный угол. Сначала складывают известные плоские углы, затем требуют, чтобы их сумма вместе с неизвестным была меньше 360°. Кроме того, сам неизвестный угол должен быть положительным и меньше 180°. Такие проверки показывают, допустимы ли данные, но не всегда сами по себе доказывают существование угла.
| Элемент | Как определяется | Что ему соответствует в сечении |
|---|---|---|
| Вершина | Общее начало всех рёбер | Отдельной вершины сечения не имеет |
| Рёбра | Лучи с общим началом | Стороны многоугольника |
| Грани | Плоские части между соседними рёбрами | Вершины многоугольника |
| Плоские углы | Углы граней между соседними рёбрами | Внутренние углы многоугольника |
Сопоставляйте элементы по тому, где проходит плоскость сечения: она пересекает рёбра, а грани соединяют соседние точки пересечения. Вершина многогранного угла остаётся вне сечения, если секущая плоскость не проходит через неё. Таблица помогает не перепутать рёбра, грани и углы при разборе чертежа.
Число рёбер задаёт число лучей, выходящих из одной точки. Чтобы рисунок был понятным, полезно расположить лучи по кругу и проследить, какие пары соседствуют. Например, для четырёх рёбер получатся четыре грани.
Вершина здесь — O, рёбра — лучи OA, OB, OC и OD, грани — части плоскостей между перечисленными парами. Если провести сечение, пересекающее все четыре луча, получится четырёхугольник. Ответ: изображён четырёхгранный угол с четырьмя рёбрами и четырьмя гранями.
Чтобы проверить данные, используем необходимое условие для выпуклого многогранного угла: сумма его плоских углов должна быть меньше 360°. Сначала найдём сумму, не делая вывода по отдельным углам. Затем проверим, не нарушено ли условие для каждого из них.
Данные проходят необходимую проверку: сумма меньше 360°, и ни один угол не выходит за допустимые пределы. Поэтому по этим условиям существование не исключается. Ответ: такой угол может существовать, но одной проверки суммы недостаточно для строгого доказательства существования.
Значение x должно быть положительным, а сумма всех пяти углов — строго меньше 360°. Сначала объединим известные углы, затем решим неравенство. После этого сопоставим полученную границу с условием, что плоский угол меньше 180°.
Верхняя граница 90° уже строже, чем требование x < 180°, поэтому дополнительное ограничение не меняет ответ. Ответ: возможны значения x между 0° и 90°, не включая границы. Условия задачи задают допустимый диапазон, но сами по себе не доказывают существование угла для каждого его значения.
Путать грань с лучом или углом. Это происходит потому, что грань ограничена двумя лучами и на рисунке часто виден только угол между ними. Но грань — плоская часть, угол — её геометрическая величина, а лучи — рёбра. Проверьте себя: если названный объект можно обозначить одной точкой или лучом, это не грань.
Принимать вершину многоугольника сечения за вершину многогранного угла. В сечении появляются собственные вершины — точки пересечения плоскости с рёбрами, поэтому их легко спутать. Вершина многогранного угла — общее начало всех его рёбер. Проследите, сходятся ли в этой точке сами рёбра, а не стороны сечения.
Допускать сумму 360°. Иногда условие «меньше» ошибочно заменяют на «меньше или равно». Но для выпуклого многогранного угла сумма плоских углов строго меньше 360°. Проверка проста: в ответе должно стоять строгое неравенство, и случай равенства не подходит.
Считать проверку суммы достаточной для существования. Неравенство суммы может выполняться, хотя один из углов отрицателен или не меньше 180°. Такую ошибку допускают, проверяя только общий итог. Проверьте каждый угол отдельно: он должен быть больше 0° и меньше 180°; даже вместе с этим проверка суммы остаётся необходимой, а не универсальным доказательством существования.
Для изучения многогранного угла нужны понятия луча, угла, выпуклой фигуры и многоугольника, а также умение находить сумму внутренних углов многоугольника. Сечения связывают пространственную геометрию с планиметрией: по плоской фигуре можно исследовать элементы угла. Этот подход пригодится при изучении многогранников и доказательстве свойств пространственных фигур. Понятие многогранного угла также помогает описывать углы между гранями многогранников.
Чем многогранный угол отличается от обычного плоского угла?
Плоский угол расположен в одной плоскости и образован двумя лучами. Многогранный угол образован несколькими лучами с общим началом и занимает часть пространства; плоские углы составляют его грани.
Что именно называют гранью многогранного угла?
Грань — это часть плоскости, ограниченная двумя соседними рёбрами многогранного угла. Эти рёбра являются сторонами грани, а угол между ними — её плоским углом.
Как по сечению увидеть плоские углы многогранного угла?
Плоскость, пересекающая все рёбра, вырезает многоугольник. Его стороны соответствуют рёбрам многогранного угла, а углы многоугольника показывают величины плоских углов его граней.
Почему сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°?
При сечении около вершины плоские углы многогранного угла соответствуют углам полученного выпуклого многоугольника. Каждый внутренний угол такого многоугольника меньше 180°, поэтому сумма всех этих углов меньше суммы соответствующих развернутых углов, то есть 360°.
Достаточно ли проверить сумму углов, чтобы установить, что такой угол существует?
Нет. Сумма меньше 360° — необходимое условие для выпуклого многогранного угла, но сама по себе она не гарантирует существование такого угла. Нужно также проверить, что каждый плоский угол положителен и меньше 180°.
26*. Многогранный угол
