"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Трехгранный угол образуют три луча с общей вершиной, не лежащие в одной плоскости: попарно они задают три грани и три ребра. Эта пространственная фигура помогает описывать углы, встречающиеся при изучении многогранников. Каждый плоский угол измеряют между двумя ребрами. Чтобы три заданных угла могли образовать трехгранный угол, сумма любых двух должна быть больше третьего, а сумма всех трех — меньше 360°. Эти правила позволяют быстро проверять задачи и находить возможные значения неизвестного угла.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Трехгранный угол — фигура, образованная тремя плоскими углами с общей вершиной, расположенными в разных плоскостях. Иначе говоря, из одной точки выходят три луча, и каждая пара этих лучей задает свою угловую область. Это понятие нужно, чтобы описывать пространственные фигуры, которые нельзя свести к одному углу на плоскости.
Грань трехгранного угла — одна из трех плоских частей, ограниченных парой его ребер. Например, два луча задают угол в некоторой плоскости, и именно эта угловая область является гранью. Грани помогают увидеть, из каких плоских частей складывается пространственный объект.
Ребро трехгранного угла — луч, общий для двух его граней. Каждый луч участвует в образовании двух плоских углов, поэтому по ребрам можно определить, как грани соединяются друг с другом. Это определение нужно, чтобы не путать ребро с целой плоскостью грани.
Плоский угол трехгранного угла — угол между двумя его ребрами; у трехгранного угла таких углов три. Их обычно обозначают греческими буквами α, β и γ, а вершину — буквой O; три ребра можно назвать OA, OB и OC. Тогда, например, угол AOB — один из плоских углов, и запись сразу показывает, какие лучи его образуют.
Пусть из точки O выходят три луча OA, OB и OC, не лежащие в одной плоскости. Лучи OA и OB задают одну грань, OB и OC — вторую, а OC и OA — третью; поэтому у фигуры ровно три грани и три общих для пар граней ребра. Если бы все три луча лежали в одной плоскости, перед нами были бы лишь несколько плоских углов, а не пространственная фигура: разные плоскости граней и создают трехмерное расположение.
Удобно обозначать фигуру как ∠ABC или ∠O, если из контекста ясно, что речь идет о трехгранном угле с вершиной O; ребра при этом называют отдельно, например OA, OB, OC. Плоские углы можно записать как ∠AOB, ∠BOC и ∠COA либо обозначить α, β, γ. Такая запись важна в решениях: она позволяет связать конкретную величину с парой ребер и не перепутать плоский угол с углом между плоскостями граней.
Сумма любых двух плоских углов больше третьего. Причину можно увидеть в сечении, которое пересекает все три ребра: в подходящей конструкции возникают стороны треугольника, а сумма длин двух сторон треугольника строго больше длины третьей. Соответствующие угловые величины дают такое же строгое неравенство; например, α + β > γ. Если бы получилось равенство, фигура выродилась бы: три направления расположились бы так, что обычного трехгранного угла не возникло бы.
Сумма трех плоских углов меньше 360°. Для объяснения представим сферу с центром в вершине O и пересечем ее тремя лучами: на поверхности получится сферический треугольник. Его углы соответствуют плоским углам трехгранного угла, а сумма углов любого невырожденного сферического треугольника больше 180°; это не дает непосредственного вывода о требуемой верхней границе. Более наглядно развернуть грани вокруг вершины: три угловые области не могут заполнить полный оборот, иначе они не образуют пространственный угол. Поэтому α + β + γ < 360°.
Эти условия позволяют проверять набор углов. Сначала проверяют три строгих неравенства для пар, затем — сумму всех трех углов: одного условия о сумме меньше 360° недостаточно. Если, например, наименьшие два угла в сумме не превосходят наибольшего, трехгранный угол невозможен. Когда все углы положительны, меньше 180°, соблюдены три неравенства треугольника и сумма меньше 360°, такой набор может служить плоскими углами трехгранного угла.
| Что рассматриваем | Обозначение | Условие или характеристика |
|---|---|---|
| Плоские углы трехгранного угла | α, β, γ | Три угла между парами ребер; каждый больше 0° и меньше 180° |
| Сумма любых двух плоских углов | α + β, α + γ, β + γ | Каждая сумма строго больше оставшегося угла |
| Сумма всех трех плоских углов | α + β + γ | Меньше 360° |
Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: убедитесь, что каждый угол допустим, затем по очереди проверьте три суммы пар и общую сумму. Равенство в условии для пары не подходит, даже если сумма трех углов меньше 360°.
Задача 1. У трехгранного угла плоские углы 45° и 70°. Какие значения может принимать третий угол? Обозначим его x. Надо сравнить его и с каждым известным углом, поэтому получим нижнюю границу как разность данных углов, а верхнюю — как их сумму.
Ответ: 25° < x < 115°. Границы строгие, потому что равенство превратило бы фигуру в вырожденную.
Задача 2. Могут ли углы 40°, 60° и 100° быть плоскими углами одного трехгранного угла? Проверим не только общую сумму, но и каждую пару: необходимо, чтобы сумма любых двух была строго больше оставшегося угла.
Ответ: нет, такие углы не могут образовать трехгранный угол. Равенство указывает на вырожденный случай.
Задача 3. Плоские углы относятся как 2:3:4, а сумма двух меньших равна 100°. Нужно найти все три угла и проверить, что они удовлетворяют условиям существования, а не только заданному отношению.
Ответ: 40°, 60° и 80°; все условия существования выполнены.
Проверять только сумму трех углов. Ученик может увидеть, что она меньше 360°, и решить, что этого достаточно. Но такое условие не исключает, например, ситуацию, когда два небольших угла в сумме равны или меньше третьего. Проверьте все три неравенства для пар.
Заменять строгое неравенство равенством. Иногда равенство кажется допустимым предельным случаем обычного правила. Однако оно означает вырождение, поэтому сумма любых двух углов должна быть именно больше третьего. При проверке отдельно отмечайте случаи равенства.
Путать плоский угол с углом между гранями. Первый измеряют между двумя ребрами, он лежит в плоскости грани; второй характеризует взаимное расположение плоскостей в пространстве. Чтобы проверить себя, назовите объекты, между которыми измеряется угол: лучи или плоскости.
Считать гранями только треугольные участки. На рисунке грань иногда ограничивают сечением, поэтому кажется, что она и есть треугольник. На самом деле грань — угловая область в плоскости, продолженная от вершины вдоль двух ребер. Сечение лишь показывает ее часть и помогает исследовать фигуру.
Для изучения трехгранного угла нужны понятия луча, плоского угла и полуплоскости, а также неравенство треугольника, которое объясняет строгость условий для пар углов. Тема связана с углом между плоскостями: он не совпадает с плоским углом, хотя оба относятся к граням и ребрам фигуры. Сечения многогранного угла сферой помогают рассматривать его пространственное устройство. Умение проверять плоские углы пригодится при изучении многогранных углов и пространственных фигур.
Чем трехгранный угол отличается от обычного плоского угла?
Плоский угол целиком лежит в одной плоскости и образован двумя лучами. Трехгранный угол — пространственная фигура из трех плоских углов с общей вершиной, расположенных в разных плоскостях.
Сколько плоских углов и ребер у трехгранного угла?
У него три плоских угла и три ребра. Каждый плоский угол образован парой ребер, а каждое ребро является общим для двух граней.
Почему сумма двух плоских углов должна быть больше третьего?
Если провести сечение, перпендикулярное ребрам, плоские углы связаны со сторонами треугольника в этом сечении. В треугольнике сумма длин любых двух сторон больше третьей, что приводит к строгому неравенству для соответствующих углов.
Может ли сумма плоских углов трехгранного угла равняться 360°?
Нет, сумма трех плоских углов должна быть строго меньше 360°. Равенство означало бы, что они заполняют полный оборот, и невырожденный трехгранный угол не образуется.
Как быстро проверить, могут ли три заданных угла образовать трехгранный угол?
Проверьте, что каждый угол положителен и меньше 180°, сумма любых двух больше третьего, а сумма всех трех меньше 360°. Если хотя бы одно условие нарушено, такого трехгранного угла нет.
25*. Трехгранный угол
