3.4. Трехгранный угол

Определения и обозначения

Трехгранный угол — фигура, образованная тремя плоскими углами с общей вершиной, попарно имеющими общие стороны. В пространстве эти углы расходятся в разных направлениях, поэтому фигура не сводится к обычному плоскому углу. Это понятие нужно, чтобы описывать простейшую пространственную конфигурацию из трех лучей.

Грань трехгранного угла — один из трех плоских углов, образующих трехгранный угол. Каждая грань лежит в своей плоскости и ограничена двумя ребрами. Выделение граней позволяет рассматривать пространственную фигуру по отдельным плоским углам.

Ребро трехгранного угла — общий луч двух его граней; у трехгранного угла три ребра. Один и тот же луч принадлежит двум соседним граням, поэтому ребра являются их границами. По ребрам удобно обозначать и называть весь трехгранный угол.

Плоский угол трехгранного угла — угол одной из его граней; его величину называют величиной грани. Например, если грань образована лучами OA и OB, ее величина — это величина угла AOB. Такие величины используют, чтобы проверять, может ли заданная тройка углов образовать трехгранный угол.

Как это устроено

Пусть из точки O выходят три луча OA, OB и OC. Углы AOB, BOC и COA имеют общую вершину O, а каждая пара соседних углов имеет общий луч. Поэтому они образуют трехгранный угол: O — его вершина, три названных угла — грани, а лучи OA, OB и OC — ребра. Важно, что каждый луч входит сразу в две грани.

Грани трехгранного угла лежат в разных плоскостях, потому что иначе все три луча и все образованные ими углы оказались бы плоскими. При попытке уложить их в одну плоскость грани пришлось бы расположить последовательно вокруг общей вершины. В предельном случае границы совпали бы или образовали развернутый угол, поэтому собственная пространственная фигура исчезла бы.

Величины граней подчиняются неравенству треугольника: каждая меньше суммы двух остальных. Обосновать это можно сечением сферы с центром в вершине: три ребра пересекают сферу в трех точках, а дуги большого круга между ними имеют длины, соответствующие величинам граней. Эти дуги образуют сферический треугольник, для сторон которого действует такое же неравенство.

Сумма величин трех граней меньше 360°. На той же сфере три дуги, соединяющие точки, не могут в совокупности заполнить полный круг вокруг центра: тогда фигура перешла бы в плоское или вырожденное положение. Поэтому при проверке заданных углов нужно установить сразу два типа условий: неравенства треугольника и ограничение на общую сумму.

Элементы и условия для трехгранного угла

Таблицу удобно использовать как проверочный список при решении задач. Сначала определите элементы фигуры, затем обозначьте величины граней и проверьте все четыре неравенства. Если хотя бы одно условие нарушено, такая тройка плоских углов не задает трехгранный угол.

Разбор задач

Задача 1. Укажите вершину, грани и ребра трехгранного угла, заданного тремя плоскими углами с общей вершиной и попарно общими сторонами.

1. Обозначим общую вершину буквой O, а три исходящих луча — OA, OB и OC.
2. Пара лучей OA и OB образует грань AOB, пара OB и OC — грань BOC, а пара OC и OA — грань COA.
3. Общие лучи двух граней — OA, OB и OC. Именно они являются ребрами, а точка O — общей вершиной.

Ответ: вершина — O; грани — AOB, BOC и COA; ребра — OA, OB и OC.

Задача 2. Могут ли величины граней трехгранного угла быть равны 40°, 70° и 110°? Обоснуйте ответ.

1. Проверим неравенство для наибольшей грани: 110° должна быть меньше суммы 40° + 70°.
2. Но 40° + 70° = 110°, то есть получилось равенство, а не строгое неравенство.
3. Сумма всех углов равна 220° и меньше 360°, однако одного этого условия недостаточно.

Ответ: нет, такие величины не могут образовать трехгранный угол, потому что 110° не меньше суммы двух других граней.

Задача 3. Две грани трехгранного угла имеют величины 50° и 80°. Какие ограничения накладываются на величину x третьей грани?

1. Для грани x получаем x < 50° + 80°, то есть x < 130°.
2. Для грани 80° условие дает 80° < 50° + x, откуда x > 30°. Неравенство 50° < 80° + x выполняется автоматически при положительной величине x.
3. Условие на сумму дает 50° + 80° + x < 360°, или x < 230°, но это ограничение слабее, чем x < 130°.

Ответ: 30° < x < 130°. При любом значении из этого интервала оба типа условий выполняются.

Типичные ошибки

Называть ребром плоский угол — ошибка в терминах: ребро является лучом, а грань является углом. Ее допускают, если смешивают фигуру и ее границу. Проверяйте себя вопросом: можно ли назвать объект общим лучом двух граней?

Считать, что три грани можно расположить в одной плоскости, значит забывать о пространственном характере фигуры. В плоскости они дают вырожденную конфигурацию, а не собственный трехгранный угол. Проверьте, лежат ли грани в разных плоскостях и расходятся ли ребра в пространстве.

Проверять только одно неравенство для величин граней недостаточно. Иногда ученик смотрит лишь на самую большую величину, хотя нарушение может быть связано с другой гранью. Запишите три проверки: a < b + c, b < a + c и c < a + b.

Считать достаточным условие a + b + c < 360° тоже нельзя. Небольшая сумма не исправит ситуацию, если одна грань равна или больше суммы двух остальных. После проверки суммы обязательно проверьте все неравенства треугольника.

Связь с другими темами

До изучения трехгранного угла нужны понятия плоского угла, луча, общей вершины и градусной меры угла. Без них трудно различать грань и ребро, а также записывать величины углов. Эти базовые понятия переносятся из планиметрии в стереометрию.

Неравенства для граней пригодятся в задачах на существование пространственных фигур. Они связаны с неравенством треугольника и помогают быстро отбрасывать невозможные наборы величин. Тот же способ рассуждения полезен при исследовании ограничений на неизвестный угол.

Что запомнить

• У трехгранного угла одна вершина, три грани и три ребра.
• Каждая грань является плоским углом.
• Ребро — общий луч двух соседних граней.
• Каждая величина грани меньше суммы величин двух других.
• Сумма величин трех граней меньше 360°.
• При проверке возможности трехгранного угла нужны оба условия на величины его граней.