3.5. Многогранный угол

Определения и обозначения

Многогранный угол — фигура, образованная несколькими плоскими углами с общей вершиной, расположенными так, что стороны соседних углов совпадают. Представьте несколько раскрытых веером плоских углов, соединённых по сторонам: вместе они образуют часть поверхности, ограничивающую область пространства. Это понятие позволяет описывать углы при вершинах пространственных фигур.

Вершина многогранного угла — общая вершина всех составляющих его плоских углов. Это точка, от которой расходятся стороны этих углов, а не любая точка на одном из лучей. Найти вершину нужно, чтобы правильно определить, какие плоские углы относятся к одному многогранному углу.

Грань многогранного угла — часть его поверхности, лежащая в плоскости одного из составляющих плоских углов. Каждая такая плоскость задаёт отдельную сторону поверхности угла, поэтому гранью называют не одну линию, а участок в этой плоскости. По граням можно описывать, как устроена поверхность многогранного угла.

Ребро многогранного угла — луч, общий для двух соседних плоских углов. По нему две соседние грани соединяются, поэтому ребро служит их общей границей. Это определение помогает не путать луч с целой гранью.

Как это устроено

У каждого плоского угла есть вершина и две стороны-луча. Если расположить несколько таких углов вокруг одной точки и совместить стороны соседних углов, получится связная поверхность из плоских участков. Она ограничивает часть пространства, поэтому возникает пространственная фигура, а не просто набор отдельных углов. Общая вершина и порядок соединения сторон определяют её устройство.

Луч, по которому соединяются два соседних плоских угла, принадлежит обоим углам сразу. В пространственной фигуре это место стыка двух участков поверхности, поэтому его называют ребром. Сам плоский угол вместе с частью плоскости задаёт одну из граней: грань занимает область, а ребро является только граничным лучом. Так различают двумерные участки поверхности и линии их соединения.

Многогранный угол называют выпуклым, если он целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Плоскость грани разделяет пространство на две половины, и для выпуклого угла все его точки, кроме принадлежащих грани, находятся в одной из них. Если какая-либо грань оставляет части угла по разные стороны своей плоскости, условие выпуклости нарушено. Эта проверка связывает форму всего угла с каждой отдельной гранью.

У выпуклого многогранного угла сумма плоских углов меньше 360°. Это можно увидеть, если взять небольшую сферу с центром в вершине: грани пересекут её по дугам, образующим выпуклый сферический многоугольник. Длины его сторон в угловой мере равны плоским углам при вершине. Периметр такого многоугольника меньше полной окружности, то есть 360°, поэтому и сумма плоских углов строго меньше 360°.

У трёхгранного угла каждый плоский угол меньше суммы двух остальных. Например, если один угол был бы не меньше суммы двух других, направления его сторон не позволили бы трём граням образовать выпуклый пространственный угол. Поэтому для углов α, β и γ должны одновременно выполняться α < β + γ, β < α + γ и γ < α + β. При проверке нужно учитывать все три условия, а не только одно из них.

Элементы и свойства многогранного угла

Сначала по таблице определите элементы: общую точку, плоские участки и лучи стыка. Затем проверьте выпуклость и примените соответствующее ограничение на углы. В задаче о трёхгранном угле записывайте три неравенства, поскольку каждое относится к своему плоскому углу.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён многогранный угол. Укажите его вершину, грани и рёбра.

Конкретный рисунок для решения не нужен: применим определения к обозначениям на любой схеме. Обозначим общую точку через S, а выходящие из неё лучи — через SA, SB, SC и SD. Предположим, что соседние плоские углы идут по порядку вокруг вершины. Тогда можно последовательно найти и грани, и рёбра.

1. Найдите точку, в которой начинаются все лучи, образующие плоские углы. Это S, поэтому она является вершиной многогранного угла. Точка на одном из лучей общей вершиной не будет.

2. Определите плоские углы между соседними лучами: например, ∠ASB, ∠BSC, ∠CSD и ∠DSA. Каждый из них задаёт грань в своей плоскости. Значит, перечисленные плоские углы соответствуют четырём граням.

3. Найдите лучи, которые входят в два соседних угла сразу. В данном примере это SA, SB, SC и SD. Они являются рёбрами многогранного угла.

Ответ: вершина — S; грани задаются плоскими углами между соседними лучами; рёбра — общие лучи этих углов. Если на схеме другая последовательность лучей, грани и рёбра перечисляют по фактическому порядку их соединения.

Задача 2. Может ли выпуклый многогранный угол иметь плоские углы 100°, 120° и 140°?

Не обязательно строить фигуру, чтобы проверить возможность: для любого выпуклого многогранного угла сумма плоских углов меньше 360°. Сначала найдём сумму данных величин, а затем сравним её с этим строгим ограничением. Равенство 360° тоже не подошло бы, поскольку требуется именно меньше, а не меньше или равно.

1. Сложим углы: 100° + 120° + 140° = 360°. Здесь учтены все три плоских угла, указанные в условии.

2. Сопоставим результат с условием выпуклости: сумма должна быть строго меньше 360°. Полученное значение ему не удовлетворяет, даже несмотря на то, что каждый угол по отдельности меньше 180°.

Ответ: нет, такой выпуклый многогранный угол невозможен. Его плоские углы дали бы сумму 360°, а это запрещено необходимым условием выпуклости.

Задача 3. Плоские углы трёхгранного угла равны 45°, 70° и x°. Найдите возможные значения x.

Для трёхгранного угла каждый плоский угол должен быть меньше суммы двух остальных. Неизвестный x входит в два из трёх таких условий, поэтому важно проверить их все. Также x должен быть положительным, ведь он является величиной плоского угла.

1. Для угла 45° получаем 45° < 70° + x. Это даёт x > −25°, что не сужает обычные положительные значения x, но условие всё равно записано.

2. Для угла 70° имеем 70° < 45° + x, откуда x > 25°. Это нижняя граница, причём равенство не допускается из-за строгого знака.

3. Для угла x записываем x < 45° + 70°, поэтому x < 115°. Объединяем ограничения x > 25° и x < 115°; каждое неравенство строгое.

Ответ: 25° < x < 115°. При обоих граничных значениях одно из необходимых неравенств превратилось бы в равенство, поэтому границы в ответ не входят.

Типичные ошибки

Ошибка: считать вершиной точку на ребре. Так происходит, когда за вершину принимают заметную точку на изображённом луче. Но вершина должна быть общей точкой всех составляющих плоских углов. Проверьте, начинаются ли от неё все их стороны; если точка лежит только на одном луче, это не вершина.

Ошибка: называть гранью луч. Ребро часто хорошо заметно на чертеже, поэтому его можно ошибочно принять за грань. Однако грань — часть поверхности в плоскости плоского угла, а общий луч соседних углов — только линия их соединения. Для проверки спросите себя, описываете ли вы участок плоскости или его границу.

Ошибка: считать, что сумма плоских углов выпуклого многогранного угла может равняться 360°. Равенство кажется допустимым, если помнить лишь о полном обороте вокруг точки. Но для выпуклого угла действует строгое условие: сумма меньше 360°. Пересчитайте все углы и проверьте, что итог именно меньше, а не равен указанному пределу.

Ошибка: проверять только одно неравенство для трёхгранного угла. Иногда ученик подставляет в сумму лишь угол, который требуется найти, и забывает про два других. Каждая из трёх величин по очереди должна быть меньше суммы двух оставшихся. Составьте все три неравенства и только после этого объединяйте ограничения.

Связь с другими темами

Для изучения многогранного угла нужны понятия плоского угла и луча: без них нельзя определить составляющие углы, их общие стороны и вершину. Также важно понимать, что плоскость разделяет пространство на две полуплоскости, потому что так задаётся выпуклость в пространстве. Позже многогранные углы помогут разбирать многогранники: у их вершин сходятся грани, а между гранями рассматривают пространственные углы. Поэтому тема связывает планиметрию с геометрией пространственных фигур.

Что запомнить

• Многогранный угол образован плоскими углами с общей вершиной.
• Общий луч соседних плоских углов — ребро многогранного угла.
• Плоские углы задают грани многогранного угла.
• Выпуклый многогранный угол лежит по одну сторону от плоскости каждой грани.
• Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
• В трёхгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух остальных.