§ 1. Понятие многогранника. Призма

Определения и обозначения

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, их стороны — рёбрами, а вершины — вершинами многогранника. Так описывают, из каких плоских частей состоит поверхность пространственного тела.

Призма — многогранник, у которого две грани являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы. Равные основания задают одинаковые поперечные сечения на концах тела. Такое определение помогает отличить призму от других многогранников.

Основаниями призмы называют два равных многоугольника в параллельных плоскостях, а остальные грани называют боковыми. Рёбра, не принадлежащие основаниям, — боковые рёбра: они соединяют соответствующие вершины оснований. Эти названия помогают правильно читать чертёж и перечислять элементы призмы.

Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований, а диагональ призмы — отрезок, соединяющий вершины, не принадлежащие одной грани. Высоту измеряют перпендикулярно плоскостям оснований, поэтому она не всегда совпадает с боковым ребром. Диагональ призмы проходит внутри тела, а не только по одной из его граней.

Как это устроено

Многогранник можно представить как замкнутое тело, поверхность которого собрана из многоугольников. Соседние грани имеют общую сторону — ребро, а рёбра встречаются в вершинах. Благодаря таким связям отдельные плоские фигуры образуют единую поверхность, а не набор несвязанных многоугольников.

Основания призмы равны и параллельны, потому что одно можно получить из другого параллельным переносом. Такой перенос сдвигает каждую точку на один и тот же вектор, сохраняя расстояния и углы, поэтому форма и размеры основания не меняются. Соединение соответствующих вершин переносом образует боковые грани-параллелограммы: их противоположные стороны параллельны и равны.

Пусть в основании призмы n сторон. Каждая сторона одного основания соединяется с соответствующей стороной другого, образуя боковую грань, поэтому боковых граней n. Между двумя основаниями есть по одному боковому ребру для каждой вершины, то есть всего 2n боковых рёбер; вместе с 2n рёбрами оснований получается 4? Нет: оснований два, в каждом по n рёбер, значит всего рёбер 3n. Вершин также 2n — по n в каждом основании.

Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Тогда боковая грань — параллелограмм с прямым углом, то есть прямоугольник. Если боковые рёбра наклонены к основаниям, призма наклонная, а её боковые грани остаются параллелограммами, но не обязаны быть прямоугольниками.

У наклонной призмы боковое ребро идёт под углом к плоскостям оснований, тогда как высота измеряется по перпендикуляру между ними. Поэтому высота — это длина кратчайшего отрезка, соединяющего эти параллельные плоскости, а не длина наклонного ребра. Диагональ призмы соединяет вершины, не лежащие на одной грани; если отрезок целиком лежит в боковой грани, это диагональ грани, а не призмы.

Элементы и виды призмы

Сначала определите, перпендикулярны ли боковые рёбра основаниям: это сразу различает прямую и наклонную призмы. Затем сравните строку о высоте с длиной ребра: высота всегда задаётся расстоянием между плоскостями. Слово «обычно» для наклонной призмы учитывает, что длины сравнивают геометрически, а высота — перпендикулярная составляющая бокового ребра.

Разбор задач

Задача 1. В основании призмы лежит пятиугольник. Определите число её боковых граней, боковых рёбер и вершин.

1. У пятиугольника 5 сторон, и каждая сторона соединяется с соответствующей стороной второго основания. Значит, боковых граней 5.
2. В каждом основании по 5 вершин, и у каждой вершины есть соответствующая вершина в другом основании. Между основаниями получится 10 боковых рёбер.
3. Вершины принадлежат двум основаниям: 5 + 5 = 10. Для проверки можно также использовать правило: у n-угольной призмы 2n вершин.

Ответ: 5 боковых граней, 10 боковых рёбер и 10 вершин.

Задача 2. Изобразите треугольную призму, обозначьте её основания, боковые грани и рёбра, а также одну диагональ. Для удобства обозначим основания ABC и A₁B₁C₁.

1. Нарисуйте два одинаковых треугольника в параллельных плоскостях и соедините соответствующие вершины AA₁, BB₁, CC₁. Это боковые рёбра.
2. Основания — треугольники ABC и A₁B₁C₁. Боковые грани — параллелограммы ABB₁A₁, BCC₁B₁ и CAA₁C₁.
3. Для диагонали призмы нужна пара вершин, не лежащих на одной грани. Например, AC₁ не принадлежит ни одной грани, поэтому это диагональ призмы.

Ответ: основания ABC и A₁B₁C₁, три указанные боковые грани; пример диагонали — AC₁. Отрезок AB₁ не подходит: его концы лежат на грани ABB₁A₁, поэтому он является диагональю грани.

Задача 3. В наклонной призме боковое ребро равно 10 см, а расстояние между плоскостями оснований — 8 см. Определите высоту и объясните, почему она не равна боковому ребру.

1. По определению высота — перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. В условии это расстояние уже дано и равно 8 см.
2. Боковое ребро длиной 10 см наклонено к плоскостям, поэтому оно не является перпендикуляром между ними. Его длина включает не только расстояние между основаниями, но и смещение вдоль плоскостей.
3. Следовательно, высоту берём из данных о расстоянии между плоскостями, а не приравниваем к боковому ребру.

Ответ: высота призмы равна 8 см; боковое ребро равно 10 см и высотой не является.

Типичные ошибки

Считать все грани призмы прямоугольниками — значит переносить свойство прямой призмы на любую призму. Ошибку допускают, потому что на привычных рисунках часто изображают именно прямую призму. Проверьте положение боковых рёбер: только при их перпендикулярности основаниям боковые грани обязательно прямоугольники.

Принимать боковое ребро наклонной призмы за высоту неверно: ребро соединяет вершины оснований, но может быть наклонено к их плоскостям. Высоту находят как расстояние между параллельными плоскостями, то есть по перпендикуляру. Если отрезок не перпендикулярен основаниям, проверьте, не перепутали ли вы его с высотой.

Называть диагональю призмы диагональ боковой грани — значит не учесть определение диагонали призмы. Такое смешение возникает потому, что оба отрезка соединяют вершины и могут выглядеть похоже на чертеже. Проверьте, лежат ли концы отрезка на одной грани: если да, это диагональ грани, а не призмы.

Путать боковые грани и основания можно, если ориентироваться только на расположение фигуры на рисунке. Основания — равные многоугольники в параллельных плоскостях, а боковые грани соединяют эти многоугольники. Проверка простая: сравните форму грани и выясните, соединяет ли она соответствующие стороны оснований.

Связь с другими темами

Для изучения призмы понадобятся свойства многоугольников, параллельных прямых и плоскостей, а также понятия перпендикуляра и расстояния между параллельными плоскостями. Эти знания позволяют обосновать форму боковых граней и правильно находить высоту. Позже призма понадобится при изучении площадей поверхности и объёмов многогранников. Грани, рёбра и вершины — общие элементы, которые помогают описывать и призмы, и другие многогранники, например пирамиды.

Что запомнить

• Поверхность многогранника состоит из многоугольных граней.
• У призмы два равных основания в параллельных плоскостях.
• Число боковых граней призмы равно числу сторон её основания.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
• Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований.