§ 1. Понятие многогранника. Призма

Определения и обозначения

Многогранная поверхность — поверхность, составленная из многоугольников, соединённых по общим сторонам. Каждая сторона должна быть общей стороной двух соседних многоугольников, а сами многоугольники должны образовывать единую замкнутую поверхность без разрывов. Это понятие описывает внешнюю оболочку тела, ещё не включая пространство внутри неё.

Многогранник — часть пространства, ограниченная многогранной поверхностью. Многоугольники, из которых состоит эта поверхность, называют гранями многогранника. Такое определение позволяет отличить сам объёмный объект от его оболочки: поверхность является границей, а многогранник включает всё, что находится внутри.

Грань — многоугольник на поверхности многогранника, ребро — общая сторона двух соседних граней, а вершина — конец ребра. В одной вершине обычно сходятся несколько рёбер и граней. Эти три элемента используют, чтобы описывать строение многогранника и подсчитывать его части.

Призма — многогранник, у которого две грани являются равными многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами. Равные грани называют основаниями, остальные — боковыми гранями. Определение сразу задаёт главное устройство призмы и помогает отличить её от других многогранников.

Как это устроено

Многоугольники образуют многогранную поверхность не случайным набором, а соединением по целым сторонам. Если две грани соседствуют, у них есть общая сторона, которая становится ребром поверхности. Благодаря таким соединениям грани переходят одна в другую и создают единую замкнутую оболочку, а не набор отдельных плоских фигур.

Многогранную поверхность и многогранник нельзя считать одним и тем же. Поверхность состоит из граней и служит границей, тогда как многогранник содержит ещё и ограниченную ею часть пространства. Например, стенки коробки соответствуют поверхности, а сама коробка вместе с её внутренним содержимым — геометрическому телу.

У призмы два равных основания лежат в параллельных плоскостях, поэтому одно основание можно получить переносом другого. Соответствующие вершины соединяют отрезками: эти отрезки называют боковыми рёбрами. Они связывают основания попарно и образуют каркас боковой части призмы.

Боковая грань призмы получается из двух соответствующих рёбер оснований и двух боковых рёбер. Рёбра оснований параллельны друг другу в соответствующих парах, а все боковые рёбра параллельны между собой. Поэтому в каждой боковой грани противоположные стороны попарно параллельны, то есть эта грань является параллелограммом.

Число сторон основания определяет почти всё строение призмы. Если основание является n-угольником, то у каждого основания n вершин и n рёбер, а соответствующих пар вершин тоже n. Поэтому боковых граней и боковых рёбер будет по n, вершин — 2n, рёбер — 3n, а всех граней — n + 2.

Элементы n-угольной призмы

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите число сторон основания n. Затем подставьте это число в формулы для нужного элемента. При проверке удобно отдельно посчитать элементы двух оснований и соединяющие их боковые части.

Разбор задач

Задача 1

Даны две равные параллельные треугольные грани и три боковые грани-параллелограмма. Объясните, почему полученная фигура — призма.

1. Проверяем основания: две треугольные грани равны и лежат в параллельных плоскостях.
2. Проверяем боковую часть: у треугольника три стороны, значит, между соответствующими сторонами оснований должны находиться три боковые грани. По условию все они являются параллелограммами.
3. Все условия определения выполнены, поэтому дополнительных признаков для доказательства не требуется.

Ответ: фигура является треугольной призмой, потому что имеет равные параллельные основания и параллелограммы в качестве боковых граней.

Задача 2

Найдите число вершин, рёбер и граней шестиугольной призмы.

1. Основание — шестиугольник, поэтому n = 6.
2. Вершины находятся в двух основаниях: 2n = 2 · 6 = 12.
3. Рёбра состоят из рёбер двух оснований и боковых рёбер: 3n = 3 · 6 = 18.
4. Грани включают два основания и шесть боковых граней: n + 2 = 6 + 2 = 8.

Ответ: у шестиугольной призмы 12 вершин, 18 рёбер и 8 граней.

Задача 3

У многогранника две равные параллельные четырёхугольные грани, но одна из боковых граней не является параллелограммом. Можно ли назвать его призмой?

1. Первые два условия выполнены: предполагаемые основания равны и расположены в параллельных плоскостях.
2. Проверяем оставшееся условие: у призмы каждая боковая грань должна быть параллелограммом.
3. Одна боковая грань этому требованию не соответствует, поэтому определение призмы нарушается, даже если основания подходят.

Ответ: назвать многогранник призмой нельзя.

Типичные ошибки

Называть призмой любой многогранник с двумя равными гранями. Одного равенства недостаточно: грани должны лежать в параллельных плоскостях, а остальные грани быть параллелограммами. Проверяйте все условия определения по очереди.

Считать боковые рёбра перпендикулярными основаниям у любой призмы. Это свойство относится только к прямой призме. Если перпендикулярность не дана, боковые рёбра могут быть наклонными, поэтому называйте их просто параллельными между собой.

Путать боковые грани и основания. Основания — две равные параллельные грани, а все остальные грани боковые. Чтобы не ошибиться, сначала найдите пару оснований, затем отнесите к боковым граням всё, что их соединяет.

Учитывать только рёбра оснований. В таком случае пропадут рёбра, соединяющие соответствующие вершины оснований. Сложите 2n рёбер двух оснований и ещё n боковых рёбер: получится 3n.

Связь с другими темами

Для понимания многогранников нужны знания о многоугольниках, их сторонах и вершинах, а также о параллельности прямых и плоскостей. Понятие призмы станет основой при изучении параллелепипеда и других многогранников. Её строение понадобится при нахождении площадей поверхностей и объёмов тел.

Что запомнить

• Грани многогранника — многоугольники, образующие его поверхность.
• Общая сторона двух граней является ребром многогранника.
• У призмы основания — равные многоугольники в параллельных плоскостях.
• Боковые грани призмы являются параллелограммами.
• Если основание призмы — n-угольник, боковых граней у неё n.
• У n-угольной призмы 2n вершин и 3n рёбер.
• Всего граней у n-угольной призмы n + 2.