27. Понятие многогранника

Определения и обозначения

Многогранник — пространственное тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. В отличие от плоской фигуры, например треугольника, многогранник занимает часть пространства и имеет объём. Это определение помогает не путать само тело с его поверхностью.

Грань многогранника — многоугольник, образующий часть его поверхности. Например, каждая плоская квадратная часть поверхности куба является его гранью. По граням описывают, из каких многоугольников составлено тело.

Ребро многогранника — сторона грани, которая является общей стороной двух соседних граней. Соседними называют грани, соприкасающиеся по этой стороне. Такое уточнение позволяет отличить ребро тела от стороны многоугольника, который просто изображён рядом с ним.

Вершина многогранника — вершина его граней, в которой сходятся рёбра. В этой точке встречаются несколько сторон многоугольников поверхности, и каждая из них является ребром многогранника. Вершины нужны, чтобы отмечать места соединения рёбер и перечислять элементы тела.

Как это устроено

Поверхность многогранника образована конечным числом многоугольников, соединённых так, чтобы вместе они ограничивали часть пространства. Если рассматривать только эти плоские части, перед нами оболочка тела, но не само тело: внутри оболочки находится пространственная область. Поэтому в определении многогранника речь идёт о теле, а его поверхность описывается отдельно. Такое различие особенно полезно, когда сравнивают многогранник с плоским многоугольником.

Каждая грань лежит в некоторой плоскости, потому что она является плоским многоугольником. У многоугольника есть замкнутая граница из отрезков, поэтому его можно соединить с соседними гранями по целым сторонам. Если бы часть поверхности была изогнутой, она не являлась бы многоугольной гранью. Именно плоскость каждой грани отличает многогранную поверхность от, например, поверхности шара.

Соседние грани соединяются по общей стороне: одна и та же сторона принадлежит обоим многоугольникам. Такая сторона называется ребром многогранника. Связь двух граней по стороне объясняет, почему ребро не просто линия, проведённая на поверхности: оно одновременно ограничивает обе грани. По рёбрам можно проследить, как части поверхности соединены друг с другом.

На конце каждого ребра расположена вершина, а в вершине сходятся рёбра разных граней. На чертеже грани обычно видны как области, ограниченные линиями, рёбра — как стороны этих областей, а вершины — как точки соединения рёбер. Проверяй эти признаки вместе: одной отметки или пересечения линий недостаточно, если оно не соответствует строению поверхности. Так проще не принять за элемент тела случайную линию рисунка.

У куба поверхность состоит из шести квадратных граней. Каждая сторона квадрата, общая для двух соседних квадратов, является ребром, а концы рёбер — вершинами куба. Значит, изображённый квадрат показывает не всё тело, а только одну из его граней. Рассматривая, как грани соприкасаются, можно восстановить строение куба и назвать его элементы.

Элементы многогранника на примере куба

Пользуйся таблицей, двигаясь от целой части поверхности к её границам и точкам соединения: грань — это многоугольник, ребро — его общая сторона с соседней гранью, вершина — место встречи рёбер. В примере куба квадрат является гранью, но не ребром. Так проще проверить, правильно ли названы элементы.

Разбор задач

На рисунке изображён куб. Назовите его грани, рёбра и вершины. Буквенных обозначений на рисунке нет, поэтому элементы удобно указывать по их положению: передняя, задняя, верхняя и нижняя части, а также соединяющие их стороны и точки.

1. Сначала найдите плоские многоугольники, которые составляют поверхность куба. У куба шесть граней, и каждая из них — квадрат.
2. Затем проследите стороны квадратов. Сторона, общая для двух соседних граней, является ребром; у куба таких рёбер двенадцать.
3. Наконец, отметьте концы рёбер. В каждой такой точке сходятся рёбра, поэтому это вершина; у куба восемь вершин.

Ответ: грани — шесть квадратов поверхности куба; рёбра — двенадцать общих сторон соседних граней; вершины — восемь точек схода рёбер. Если на плоском изображении часть элементов скрыта, мысленно продолжите строение куба и учтите их тоже.

У многогранника известны его грани. Определите, какие из указанных отрезков являются рёбрами, а какие точки — вершинами. Здесь недостаточно проверить, лежит ли отрезок на границе одного многоугольника: важно установить связь с соседней гранью.

1. Для каждого отрезка проверьте, является ли он стороной какой-либо грани. Если нет, это не ребро многогранника.
2. Если отрезок — сторона грани, выясните, есть ли по другую сторону от него соседняя грань с той же общей стороной. Если да, отрезок — ребро.
3. Для каждой точки проверьте, сходятся ли в ней рёбра. Точки внутри стороны или внутри грани вершинами не являются.

Ответ: рёбрами будут только отрезки — общие стороны соседних граней, а вершинами — точки, в которых сходятся рёбра. Конкретный перечень зависит от заданных граней и указанных отрезков и точек.

Дан многогранник с несколькими многоугольными гранями, часть которых скрыта на чертеже. По описанию их соединения составьте перечень граней, рёбер и вершин. В такой задаче видимая часть рисунка не всегда показывает полную оболочку, поэтому важно опираться на связи между гранями.

1. Выпишите все названные многоугольники, включая те, положение которых указано в описании, но которые закрыты на чертеже. Это перечень граней.
2. Сопоставьте грани попарно и отметьте их общие стороны. Каждую общую сторону соседних граней внесите в перечень рёбер один раз.
3. Запишите точки, в которых сходятся найденные рёбра. Сверьте их с описанием соединений, чтобы не пропустить скрытые вершины и не посчитать одну точку несколько раз.

Ответ: перечень составляют все указанные грани, их общие стороны и точки схода рёбер; точные названия зависят от описания фигуры. Проверка состоит в том, что у каждого найденного ребра есть две соседние грани, а каждая вершина является местом соединения рёбер.

Типичные ошибки

Называть многогранником только его поверхность — значит смешивать тело с оболочкой, которая его ограничивает. Так ошибаются, потому что на рисунке обычно видны именно грани, а внутреннюю часть пространства не изображают. Проверь себя вопросом: описывается ли целое тело или только его поверхность? Грани составляют поверхность, но многогранник — тело.

Считать ребром любую линию на чертеже неверно: ребро должно быть общей стороной двух соседних граней. Ошибка возникает, когда ориентируются лишь на внешний вид отрезка и не проверяют, какие грани он соединяет. Для проверки найди обе грани, которым принадлежит этот отрезок; если второй грани нет, условие определения ребра не выполнено.

Любая точка на поверхности не является вершиной многогранника. Вершина — точка схода рёбер, а точку внутри грани или посередине ребра легко ошибочно принять за неё из-за отметки на рисунке. Проверь, соединяются ли в выбранной точке рёбра. Если нет, перед тобой не вершина.

Видимая часть чертежа может не показывать все рёбра и вершины. Ошибка появляется, когда рисунок принимают за полный перечень элементов, хотя задняя часть тела скрыта. Мысленно проследи соединение граней и учти невидимые элементы; затем проверь, что найденные рёбра действительно общие стороны двух граней. Не считай одно и то же ребро дважды.

Связь с другими темами

Для понимания многогранника нужны знания о многоугольниках: важно узнавать их стороны и вершины, а также понимать, что такое плоскость и пространственное тело. Тогда можно увидеть, как плоские фигуры соединяются и образуют поверхность объёмной формы. Это связывает планиметрию с изучением геометрических тел.

Понятие многогранника служит основой для изучения призм и пирамид — частных видов таких тел. Грани, рёбра и вершины помогают описывать их строение, а поверхность и объём — исследовать их геометрические свойства. Поэтому распознавание элементов пригодится в следующих темах.

Что запомнить

• Многогранник — пространственное тело.
• Поверхность многогранника состоит из многоугольников.
• Многоугольники поверхности называют гранями.
• Общие стороны соседних граней — рёбра.
• Точки, в которых сходятся рёбра, — вершины.
• На рисунке часть рёбер и вершин может быть невидима.