1.1. Понятие многогранника

Определения и обозначения

Многогранник — тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Иначе говоря, это не просто плоский чертёж, а ограниченная часть пространства. Определение помогает отличить многогранник от тела с округлой поверхностью.

Грань многогранника — один из многоугольников, образующих его поверхность. Грани могут иметь разную форму и число сторон. Понятие грани нужно, чтобы описывать, из каких плоских частей составлено тело.

Ребро многогранника — сторона грани; каждое ребро принадлежит двум граням. Значит, оно служит общей стороной соседних многоугольников. По рёбрам удобно прослеживать, как поверхность соединена в единое целое.

Вершина многогранника — вершина его граней, в которой сходятся рёбра. В ней встречаются несколько частей поверхности, поэтому вершины показывают, как соединяются рёбра и грани. Эти три вида элементов используют, чтобы описать строение многогранника и считать его части.

Как это устроено

Многогранная поверхность складывается из многоугольников, потому что у каждой её части плоская форма с прямыми сторонами. Стороны соседних многоугольников совпадают попарно: иначе между ними остался бы разрыв или одна сторона не была бы общей границей граней. Когда соединённые многоугольники образуют замкнутую поверхность, она ограничивает тело.

Грани соприкасаются по рёбрам, а рёбра сходятся в вершинах. Такое соединение позволяет описывать не только отдельные многоугольники, но и всю структуру тела: какие грани соседствуют, какие вершины соединяет ребро. При подсчёте важно обходить элементы последовательно, чтобы не посчитать общую сторону или точку повторно.

Поверхность многогранника ограничивает часть пространства, и именно это тело называют многогранником. Различие важно: поверхность — граница, а тело включает заключённую внутри неё область. Например, когда говорят о многограннике как о пространственном объекте, имеют в виду и его поверхность, и ограниченную ею часть пространства.

Многогранник выпуклый, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Плоскость грани делит пространство на две полуплоскости в пространственном смысле — два полупространства, и всё тело должно находиться в одном из них. Это условие выражает выпуклость тела: отрезок между любыми двумя его точками не выходит за его пределы.

На модели или чертеже грани находят как многоугольные участки поверхности, рёбра — как их общие стороны, вершины — как места соединения рёбер. Сначала полезно проследить контур каждой грани, затем сверить её стороны с соседними гранями. Линии для изображения невидимых рёбер обычно проводят штрихом: они показывают существующие элементы, которые закрыты от наблюдателя, а не новые рёбра.

Элементы многогранника

Пользуйся таблицей, когда нужно назвать элемент или установить, как он связан с остальными. Например, чтобы найти рёбра, рассматривай стороны граней, а не любые линии на рисунке. При подсчёте отмечай каждый элемент только один раз.

Разбор задач

Задача 1. На модели многогранника требуется определить число граней, рёбер и вершин. Нужно объяснить, какие элементы посчитаны, а не просто назвать три числа. Решение удобно вести отдельно для каждого вида элементов.

1. Обойди поверхность и последовательно отметь каждый многоугольник. Повторное возвращение к уже отмеченной грани не добавляет новую; число отмеченных многоугольников и есть число граней.
2. Проследи стороны граней: каждая общая сторона соседних граней считается одним ребром, а не двумя. Отметь каждое ребро один раз, в том числе те, которые с выбранной стороны модели не видны.
3. Отметь все точки, где сходятся рёбра. При обходе не считай одну и ту же вершину повторно, даже если она принадлежит нескольким граням.

Ответ. Числа определяются по результатам трёх отдельных обходов модели. В объяснении укажи, что грани — это многоугольники поверхности, рёбра — их общие стороны, а вершины — места соединения рёбер.

Задача 2. На чертеже изображено тело с многоугольными участками поверхности. Нужно решить, является ли оно многогранником, и назвать его элементы. Одного наличия многоугольников на рисунке недостаточно: они должны составлять поверхность тела.

1. Проверь, что изображённая поверхность замкнута и ограничивает часть пространства. Если поверхность имеет незакрытый край, тело не удовлетворяет нужному условию.
2. Убедись, что поверхность составлена из конечного числа многоугольников. Участки с кривыми границами не являются многоугольными гранями.
3. Если оба условия выполнены, назови гранями многоугольники, рёбрами — их общие стороны, вершинами — точки соединения рёбер. Скрытые части на чертеже тоже учитывай.

Ответ. Тело является многогранником, если его замкнутая поверхность состоит из конечного числа многоугольников. Его элементы определяют по связям между этими многоугольниками.

Задача 3. Требуется установить, выпуклый ли данный многогранник. По внешнему виду рисунок может казаться убедительным, но проверить нужно определение, а не впечатление от изображения.

1. Для каждой грани мысленно проведи плоскость, содержащую эту грань. Она делит пространство на два полупространства.
2. Проверь, остаётся ли всё тело в одном полупространстве относительно этой плоскости. Повтори проверку для каждой грани, поскольку одного удачного примера недостаточно.
3. Если условие выполняется для всех граней, многогранник выпуклый. Если хотя бы для одной грани часть тела оказывается по другую сторону её плоскости, условие выпуклости нарушено.

Ответ. Многогранник выпуклый тогда и только тогда, когда для плоскости каждой его грани всё тело находится по одну сторону.

Типичные ошибки

Называть многогранником только его поверхность — ошибка: поверхность является границей, а многогранник представляет собой тело, которое она ограничивает. Так путают эти понятия, потому что на чертеже обычно виден именно контур поверхности. Проверь себя вопросом: говорится о границе или о пространственном теле вместе с внутренней областью?

Считать гранью любой плоский участок внутри тела тоже неверно. Грань должна быть многоугольником, входящим в состав поверхности, тогда как внутренний участок не ограничивает многогранник. Чтобы проверить ответ, выясни, принадлежит ли рассматриваемая часть внешней границе тела.

Штриховую линию невидимого ребра иногда принимают за дополнительное ребро. Но штрих показывает элемент, который уже существует, просто закрыт на изображении; отдельной новой стороны он не создаёт. При подсчёте сверяй линии с гранями и отмечай каждое реальное ребро только один раз.

Ошибочно считать выпуклым любой многогранник. Выпуклость — отдельное свойство, и её нельзя установить лишь по тому, что рисунок выглядит аккуратно или не имеет заметных вмятин. Проверяй тело относительно плоскости каждой грани; если условие нарушается хотя бы для одной, многогранник не выпуклый.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужны знания о многоугольниках: их сторонах и вершинах, а также представление о плоскости и пространственном теле. Это позволяет понимать, из каких частей составлена поверхность и как она ограничивает пространство. Далее понятие многогранника понадобится при изучении призм, пирамид и других пространственных тел.

Связи между гранями, рёбрами и вершинами используют в задачах о строении многогранников. В частности, числа этих элементов помогают проверять подсчёты и устанавливать свойства тел. Поэтому важно сначала правильно определить каждый элемент и не считать его повторно.

Что запомнить

• Многогранник — тело, ограниченное многогранной поверхностью.
• Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников.
• Многоугольники на поверхности называются гранями.
• Стороны граней являются рёбрами многогранника.
• Вершины граней являются вершинами многогранника.
• Выпуклость многогранника проверяют относительно плоскостей его граней.