1.2. Геометрическое тело

Определения и обозначения

Геометрическое тело — часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. В тело входят точки внутри границы и сама граница, поэтому тело нельзя свести только к его оболочке. Такое определение нужно, чтобы отличать объёмную фигуру от её поверхности.

Поверхность тела — граница, отделяющая тело от остальной части пространства. Она может состоять из плоских участков, например граней куба, и кривых участков, как поверхность шара. Понятие поверхности помогает описывать, чем именно ограничено тело.

Внутренняя точка тела — точка, вокруг которой можно взять шар достаточно малого радиуса, целиком лежащий внутри тела. Такой шар служит проверкой: если при небольшом смещении от точки остаёшься внутри тела, точка внутренняя. Это определение позволяет не зависеть от конкретного рисунка.

Внешняя точка тела — точка, вокруг которой можно взять шар достаточно малого радиуса, не имеющий общих точек с телом. Значит, рядом с такой точкой тело отсутствует. Это понятие нужно, чтобы точно отличать область вне фигуры от её внутренней части.

Как это устроено

Если назвать телом только внутренние точки, то описание не покажет, где именно заканчивается фигура. Например, внутри куба можно указать его объёмную часть, но без граней не будет задана граница, отделяющая куб от окружающего пространства. Поэтому геометрическое тело рассматривают вместе с ограничивающей его поверхностью. Так однозначно задаётся вся фигура, включая её край.

Замкнутая поверхность отделяет точки, относящиеся к телу, от точек вне него: чтобы перейти изнутри наружу, нужно пересечь границу. У куба граница состоит из плоских граней, а у шара — из кривой поверхности. Есть тела, у которых встречаются оба вида участков, например цилиндр ограничен круглыми основаниями и боковой кривой поверхностью. Вид границы зависит от формы тела, но её роль остаётся той же.

Чтобы понять положение точки, удобно представить вокруг неё маленький шар — её окрестность. Если такой шар целиком оказывается внутри тела, точка внутренняя; если он полностью не соприкасается с телом, точка внешняя. Это различие важно, потому что само положение точки нельзя надёжно определить по тому, где она кажется расположенной на плоском рисунке. Точка на границе не подходит ни под один из этих случаев: любой малый шар вокруг неё пересекает и тело, и пространство снаружи.

Поверхность необязательно состоит из одной детали: разные её участки могут иметь разную форму и соединяться друг с другом. У куба это шесть квадратных граней, у цилиндра — основания и боковая часть, а у шара граница кривая. Поэтому при описании сложного тела полезно перечислить все части его поверхности. Так проще понять, чем ограничена фигура и какие участки нужно учитывать.

Геометрическое тело — пространственная фигура, которая занимает часть трёхмерного пространства. Контур на листе или экранное изображение показывают лишь её представление, но не само тело целиком. Например, нарисованный квадрат — плоская фигура, а куб имеет объём и ограничен шестью гранями. Различение тела и изображения помогает не путать реальные пространственные свойства с особенностями рисунка.

Тело, его поверхность и положение точек

Сначала определите, рассматриваете ли вы всё тело или только его границу, а затем выясните положение точки относительно поверхности. Для проверки внутренней или внешней точки мысленно используйте малую окрестность. Точка на границе требует отдельного ответа: она принадлежит поверхности.

Разбор задач

Задача 1. У куба указать геометрическое тело и его поверхность

Условие. Дан куб. Нужно назвать, что в этой ситуации является геометрическим телом, и описать его поверхность. Необходимо различить объёмную часть и её границу. Рисунок куба для ответа не обязателен.

1. Сначала рассматриваем сам куб как часть пространства, а не как набор линий на изображении. Он включает точки, расположенные внутри, и точки на границе. Это и есть геометрическое тело.
2. Затем выделяем границу куба. Она состоит из шести квадратных граней, соединённых по рёбрам. Совокупность этих граней образует поверхность куба.
3. Сравниваем два описания: тело включает внутреннюю область, поверхность — только ограничивающие грани. Рёбра и вершины являются частью этой границы, но не заменяют собой всё тело. Так мы не смешиваем объёмную фигуру с её оболочкой.

Ответ: геометрическое тело — весь куб вместе с внутренними точками и границей; его поверхность состоит из шести квадратных граней.

Задача 2. Определить положение точки относительно шара

Условие. Шар имеет центр O и радиус 5 см. Для точки A известно OA = 3 см, для точки B — OB = 5 см, для точки C — OC = 7 см. Нужно определить, где находится каждая точка: внутри шара, на его поверхности или вне его. Сравним расстояние до центра с радиусом.

1. Для точки A расстояние OA меньше радиуса: 3 < 5. Значит, точка расположена ближе к центру, чем поверхность шара. Поэтому A находится внутри шара.
2. Для точки B расстояние OB равно радиусу: 5 = 5. Все точки на расстоянии радиуса от центра лежат на границе шара. Следовательно, B принадлежит поверхности.
3. Для точки C расстояние OC больше радиуса: 7 > 5. Точка находится дальше от центра, чем поверхность, и лежит снаружи. Такое сравнение работает именно потому, что дана сфера как граница шара и известен её радиус.

Ответ: A — внутри шара, B — на его поверхности, C — вне шара.

Задача 3. Тело с плоскими и кривыми участками

Условие. Тело ограничено круглыми основаниями и боковой кривой поверхностью. Точка P находится внутри него, точка Q лежит на боковой части границы, а точка R расположена снаружи. Нужно описать поверхность и классифицировать точки. Представим тело в виде цилиндра.

1. Перечисляем участки границы: два плоских круглых основания и одна кривая боковая поверхность. Вместе они образуют замкнутую поверхность, ограничивающую тело. Плоские и кривые части не следует считать разными телами.
2. Точка P находится во внутренней части. Вокруг неё можно выбрать достаточно малый шар, целиком лежащий внутри цилиндра. Значит, P — внутренняя точка тела.
3. Точка Q лежит непосредственно на боковой границе, поэтому она принадлежит поверхности. Точка R находится снаружи: вокруг неё можно взять малый шар, не пересекающий тело. Так для каждой точки применяется отдельный признак.

Ответ: поверхность состоит из двух плоских оснований и кривой боковой части; P — внутренняя точка, Q — точка поверхности, R — внешняя точка.

Типичные ошибки

Называют телом только его поверхность. Так происходит, когда за фигуру принимают видимую оболочку на рисунке и забывают о пространстве внутри неё. Проверьте себя: тело должно включать внутренние точки, а поверхность — лишь его границу.

Исключают поверхность из тела. Ошибка возникает, если считать, что тело состоит только из точек строго внутри границы. Но по определению граница входит в состав тела. Уточните, спрашивают ли о теле целиком или только о его поверхности.

Считают точку на поверхности внутренней или внешней. Иногда выбирают один из двух вариантов, не выделяя границу отдельно. Однако малый шар вокруг точки поверхности пересекает и тело, и пространство снаружи. Поэтому точку на поверхности нужно называть точкой границы.

Полагают, что поверхность бывает только плоской. Такое представление появляется из-за чертежей, где грани изображены линиями и плоскими участками. У шара поверхность кривая, а у цилиндра соединяются плоские и кривые части. Проверяйте описание всей границы, а не только её отдельных участков.

Связь с другими темами

Для работы с геометрическим телом нужны понятия пространства, точки, плоскости и геометрической фигуры. Они позволяют описывать положение объекта и его частей, а не только изображение на листе. Без этих представлений нельзя точно различить внутреннюю область и границу.

Понятие тела используют при изучении многогранников и тел вращения. У многогранников поверхность состоит из многоугольников, а у тел вращения часто присутствуют кривые участки. Описание тела помогает сравнивать их форму и устройство.

Представление о теле и его границе понадобится при изучении объёма и площади поверхности. Объём характеризует пространство, занимаемое телом, а площадь поверхности относится к его границе. Поэтому перед вычислениями важно понимать, какую именно часть фигуры рассматривают.

Что запомнить

• Геометрическое тело занимает часть пространства.
• Тело рассматривают вместе с ограничивающей его поверхностью.
• Поверхность отделяет тело от остального пространства.
• Точка может быть внутренней, внешней или принадлежать поверхности тела.
• Поверхность тела может состоять из плоских и кривых частей.