"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Теорема Эйлера связывает число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника: В + Г − Р = 2. Она показывает, что эти три числа нельзя менять независимо друг от друга, и помогает находить неизвестный элемент, если известны два остальных. С её помощью можно также проверить подсчёты. Для многогранников с треугольными гранями теорему удобно сочетать с равенством 3Г = 2Р.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Выпуклый многогранник — многогранник, целиком лежащий по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Именно для таких тел в этой теме формулируется теорема Эйлера; к невыпуклым многогранникам её нельзя переносить автоматически. Это уточнение помогает понять, для каких объектов верна формула.
Вершина многогранника — точка, в которой сходятся его рёбра. Подсчитывая вершины, считают точки соединения, а не отдельные части сходящихся отрезков. Число вершин обозначают буквой В.
Ребро многогранника — отрезок, являющийся общей стороной двух его граней. Такое определение помогает не посчитать одно и то же ребро дважды, если оно разделяет соседние грани. Число рёбер обозначают буквой Р.
Грань многогранника — многоугольник, ограничивающий многогранник. Гранью считают каждую плоскую многоугольную часть поверхности целиком, а не отдельные её стороны. Число граней обозначают буквой Г.
Теорема Эйлера для выпуклого многогранника записывается так: В + Г − Р = 2. Здесь В — число вершин, Г — число граней, Р — число рёбер. Равенство связывает элементы поверхности тела, которые образуют единую структуру: грани сходятся по рёбрам, а рёбра соединяются в вершинах. Поэтому числа этих элементов не могут быть любыми.
В формулу подставляют все вершины, рёбра и грани одного и того же многогранника. Считают элементы целиком, независимо от того, насколько велики грани и какова длина рёбер. Размеры и форма отдельных частей не меняют результат: теорема говорит о количестве элементов выпуклого тела, а не об их величинах.
Равенство показывает взаимосвязь чисел В, Г и Р: если одно из них меняется, остальные должны быть согласованы так, чтобы формула сохранялась. Например, при фиксированных числе вершин и числе граней число рёбер уже задано равенством. Нельзя отдельно выбрать три числа и считать, что они обязательно описывают выпуклый многогранник.
Если известны два числа, третье находят обычным преобразованием формулы. Для числа вершин получаем В = 2 − Г + Р, для числа граней — Г = 2 − В + Р, для числа рёбер — Р = В + Г − 2. После подстановки полезно проверить полученный ответ: пересчитать левую часть и убедиться, что она равна двум.
Теорема помогает обнаружить ошибку в подсчёте: если у выпуклого многогранника равенство не выполняется, нужно проверить, не пропущены ли элементы и не посчитано ли что-либо дважды. Но сама по себе формула не гарантирует, что набор чисел описывает существующее тело. Для невыпуклых многогранников условие о выпуклости нарушено, поэтому применять эту формулу без отдельного доказательства нельзя.
| Многогранник | Вершины (В) | Рёбра (Р) | Грани (Г) | Проверка В + Г − Р = 2 |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 4 + 4 − 6 = 2 |
| Куб | 8 | 12 | 6 | 8 + 6 − 12 = 2 |
| Треугольная призма | 6 | 9 | 5 | 6 + 5 − 9 = 2 |
| Неизвестное число элементов | В | Р | Г | В + Г − Р = 2 |
Сначала найдите в строке два известных числа, затем подставьте их в формулу и вычислите третье. В строке с неизвестным элементом буквы обозначают числа вершин, рёбер и граней конкретного многогранника. Проверка показывает, выполняется ли теорема для приведённых данных.
Задача 1. У куба 8 вершин и 6 граней. Найдите число рёбер. Нужно применить теорему к одному и тому же кубу и выразить из равенства неизвестное Р.
Ответ: у куба 12 рёбер. Проверка: 8 + 6 − 12 = 2, поэтому число найдено верно.
Задача 2. У выпуклого многогранника 12 вершин и 18 рёбер. Найдите число граней и проверьте, согласуются ли эти данные с треугольной призмой. Сначала вычислим число граней по теореме, затем сопоставим все три числа с известными характеристиками призмы.
Ответ: у заданного многогранника 8 граней; это не треугольная призма. Теорема позволяет найти число граней, но не определить вид тела без дополнительных сведений.
Задача 3. У выпуклого многогранника все грани — треугольники, а число вершин равно 10. Найдите число рёбер и граней. Здесь одной формулы Эйлера недостаточно, потому что неизвестны сразу два числа; используем ещё связь между сторонами граней и рёбрами.
Ответ: 16 граней и 24 ребра. Подстановка в формулу Эйлера даёт 10 + 16 − 24 = 2.
Можно перепутать обозначения В, Г и Р или поставить неверный знак. Такая ошибка часто возникает, когда формулу запоминают без связи букв с элементами. Перед вычислениями расшифруйте обозначения и запишите именно В + Г − Р = 2, а после подстановки проверьте равенство.
Ещё одна ошибка — считать сторону каждой грани отдельным ребром. Общее ребро соседних граней при таком способе окажется посчитано дважды, хотя у многогранника это одно ребро. Чтобы проверить подсчёт, проследите, не обозначено ли одно и то же соединение граней как два разных ребра.
Формулу иногда применяют к телу, не проверив его выпуклость. Это делают потому, что равенство кажется универсальным для любого многогранника, но теорема в этой форме установлена для выпуклых тел. Сначала убедитесь, что тело лежит по одну сторону от плоскости каждой грани; иначе потребуется отдельное обоснование.
Если все грани треугольные, можно ошибочно принять 3Г за число рёбер. Так считают стороны граней, а не уникальные рёбра тела: каждое ребро участвует в подсчёте два раза. Самопроверка — разделить общее число сторон граней на два, то есть использовать 3Г = 2Р.
Для работы с теоремой нужно знать, что называют многогранником, его вершиной, ребром и гранью, а также уметь считать эти элементы у призм и пирамид. Теорема помогает решать задачи на многогранники и проверять, согласуются ли подсчёты с их устройством. Если все грани треугольные, вместе с формулой Эйлера используют равенство 3Г = 2Р, основанное на подсчёте сторон граней.
К каким многогранникам применима теорема Эйлера?
Теорема в приведённой форме относится к выпуклым многогранникам. Это тела, которые целиком лежат по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Для невыпуклых тел формулу нельзя применять без отдельного обоснования.
Почему в формуле Эйлера число рёбер вычитается?
Это знак в самой взаимосвязи между тремя числами: В + Г − Р = 2. Вычитание показывает, что рёбра учитываются как элементы, общие для пар соседних граней. Если переставить знак, равенство перестанет выполняться, например, для куба.
Как найти число граней, если известны число вершин и число рёбер?
Подставьте известные значения в формулу В + Г − Р = 2 и выразите Г: Г = 2 − В + Р. Например, если В = 12 и Р = 18, то Г = 2 − 12 + 18 = 8.
Почему при подсчёте сторон треугольных граней каждое ребро учитывается дважды?
Каждое ребро многогранника является общей стороной двух граней. Поэтому при подсчёте сторон всех треугольных граней ребро попадает в сумму два раза. Отсюда следует равенство 3Г = 2Р.
Можно ли по теореме Эйлера определить, какой именно многогранник задан?
Нет, формула задаёт связь между числами вершин, рёбер и граней, но не описывает форму многогранника. Одни и те же значения могут соответствовать разным телам. Чтобы определить вид многогранника, нужны дополнительные сведения.
1.3. Теорема Эйлера
