"Геометрия", Смирнова И.М., Смирнов В.А.
Выпуклый многогранник имеет вершины, рёбра и грани, и их числа связаны формулой Эйлера: V − E + F = 2. Здесь V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. Теорема помогает проверять подсчёты и находить неизвестное число элементов, если два других известны. Она верна для многогранников разной формы: результат не зависит от того, какие именно многоугольники составляют их грани.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многогранник — пространственное тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Теорема Эйлера, о которой пойдёт речь, относится к выпуклым многогранникам: у такого тела нет вмятин, а отрезок между любыми двумя его точками не выходит за пределы тела. Это уточнение нужно, чтобы понимать, для каких фигур можно применять формулу.
Грань многогранника — многоугольник, составляющий часть его поверхности. У куба, например, грани — квадраты, а у тетраэдра — треугольники. Считая грани, мы определяем, из каких плоских частей сложена поверхность тела.
Ребро многогранника — сторона его грани, а вершина — конец ребра. Каждое ребро принадлежит двум граням, которые соприкасаются по этой стороне. Эти понятия позволяют описать, как отдельные многоугольники соединены друг с другом.
Формула Эйлера — соотношение между числами вершин V, рёбер E и граней F выпуклого многогранника: V − E + F = 2. Буквы обозначают именно количество элементов, а не их длину или площадь. Формула нужна, чтобы проверить подсчёт или найти одно неизвестное число, когда известны два других.
Чтобы подсчитать элементы, удобно пройти по поверхности многогранника и отмечать каждую вершину, каждое ребро и каждую грань только один раз. Объекты могут встречаться на нескольких гранях, но от этого не становятся разными: общее ребро соседних граней всё равно одно. Такой способ подсчёта не даёт случайно завысить V, E или F.
Проверим связь на тетраэдре. У него четыре вершины и четыре треугольные грани, а рёбер шесть. Подстановка даёт 4 − 6 + 4 = 2, то есть формула выполняется. Пример полезен как проверка смысла обозначений: в выражение нужно подставлять количества именно тех элементов, которым соответствуют буквы.
У разных выпуклых многогранников грани могут быть треугольниками, квадратами или другими многоугольниками, но связь между V, E и F остаётся той же. Причина в том, что формула описывает способ соединения частей поверхности, а не вид каждого отдельного многоугольника. Поэтому её можно применять и к кубу, и к октаэдру, хотя их грани устроены по-разному.
Поверхность многогранника можно мысленно разрезать по одному ребру и раскрыть на плоскости, как развёртку. При таком изображении меняются форма и расположение частей, но вершины и рёбра, а также связи между гранями можно проследить по исходному телу. Если учитывать, какие стороны при складывании совпадают, подсчёт элементов остаётся связанным с исходным многогранником; поэтому равенство Эйлера применимо к его поверхности.
Формулу удобно преобразовать, если нужно найти неизвестное число. Например, из V − E + F = 2 получаем F = 2 − V + E, когда известны вершины и рёбра. Так же можно выразить E или V. Перед вычислениями проверьте, что в условии речь идёт о выпуклом многограннике и что каждое известное число поставлено на своё место.
Сравните числа элементов и результат V − E + F для трёх знакомых тел. В каждой строке числа вершин, рёбер и граней относятся к одному многограннику.
| Многогранник | Число вершин V | Число рёбер E | Число граней F | V − E + F |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 2 |
| Куб | 8 | 12 | 6 | 2 |
| Октаэдр | 6 | 12 | 8 | 2 |
Чтобы пользоваться таблицей, возьмите строку одного многогранника и вычислите V − E + F. Результат 2 показывает, что приведённые числа согласуются с теоремой Эйлера. Таблица также помогает увидеть, что у разных тел число граней и рёбер может отличаться.
Задача 1. У тетраэдра 4 вершины, 6 рёбер и 4 грани. Проверьте формулу Эйлера.
Ответ: формула Эйлера проверена: 4 − 6 + 4 = 2.
Задача 2. У выпуклого многогранника 8 вершин и 12 рёбер. Сколько у него граней?
Ответ: у многогранника 6 граней.
Задача 3. У выпуклого многогранника 7 граней, и у каждой грани по 4 стороны. Найдите число вершин и рёбер.
Ответ: 9 вершин и 14 рёбер.
Формулу применяют, не проверив, что многогранник выпуклый. Это происходит потому, что равенство запоминают отдельно от условия теоремы. Перед вычислением прочитайте условие задачи и убедитесь, что рассматривается выпуклый многогранник.
Сумму сторон всех граней иногда принимают за число рёбер. Ошибку допускают, забывая, что каждое ребро служит стороной двух граней. Проверьте подсчёт: если дана сумма сторон граней, разделите её на 2, чтобы получить E.
Можно перепутать число вершин и число граней или подставить их на места других букв. Причина — одинаково звучащие слова «число элементов» без уточнения, какие именно элементы считаются. Перед подстановкой подпишите значения V, E и F, а затем проверьте итог по формуле.
Некоторые считают, что результат зависит от одинаковой формы граней. Такое предположение возникает, если ориентироваться на знакомый куб, у которого все грани — квадраты. Но формула связывает количества элементов поверхности, а не форму многоугольников. Проверяйте, что многогранник выпуклый, а не то, одинаковы ли его грани.
Для изучения теоремы Эйлера нужны понятия многоугольника, его сторон и вершин, а также представление о многограннике. Умение узнавать эти элементы помогает правильно подсчитывать вершины, рёбра и грани. Позже формула пригодится при изучении пространственных фигур и решении задач на многогранники, где требуется определить число их элементов или проверить подсчёт.
К каким многогранникам применима теорема Эйлера?
Формула V − E + F = 2 относится к выпуклым многогранникам. Выпуклый многогранник не имеет вмятин: отрезок между любыми двумя его точками целиком лежит внутри или на поверхности тела.
Что означают буквы V, E и F в формуле?
V обозначает число вершин, E — число рёбер, F — число граней. Эти числа подставляют в равенство V − E + F = 2 на соответствующие места.
Почему в формуле Эйлера получается именно число 2?
Это постоянное свойство поверхности выпуклого многогранника: её можно развернуть на плоскость, не разрывая связей между частями. Подсчёты элементов такой связной поверхности приводят к разности V − E + F, равной 2. Полное доказательство требует отдельного разбора.
Почему при подсчёте сторон всех граней каждое ребро считают дважды?
У каждого ребра есть две стороны поверхности, и оно служит стороной двух соседних граней. Поэтому при подсчёте сторон каждой грани ребро попадает в сумму два раза, а число рёбер E получают, разделив эту сумму на 2.
Можно ли по двум числам — вершин, рёбер или граней — найти третье?
Да, если многогранник выпуклый и известны два числа, третье можно найти из формулы Эйлера. Например, F = 2 − V + E, если известны V и E.
§ 25*. Теорема Эйлера
