"Геометрия (базовый и углубленный уровень). 10-11 классы", Александров А.Д., Вернер А.Л. и др.
Теорема Эйлера связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника с радиусами этих окружностей. Её формула OI² = R(R − 2r) позволяет находить неизвестное расстояние или радиус, а также сразу получить важное неравенство R ≥ 2r. Равенство достигается, когда центры совпадают, то есть в равностороннем треугольнике. Теорема помогает увидеть, как расположение двух центров зависит от формы треугольника.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центр описанной окружности O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Серединный перпендикуляр проходит через середину стороны под прямым углом к ней. Точка O равноудалена от всех вершин, поэтому вокруг неё можно провести окружность, проходящую через вершины треугольника.
Центр вписанной окружности I — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Биссектриса делит угол на две равные части, а точка на ней равноудалена от сторон угла. Поэтому I равноудалена от всех сторон и служит центром окружности, которая касается каждой из них.
Радиус описанной окружности R и радиус вписанной окружности r — расстояния от соответствующих центров до окружностей. Иными словами, R можно измерить от O до любой вершины, а r — от I перпендикулярно до стороны треугольника. Эти обозначения позволяют кратко записывать соотношения между окружностями.
Расстояние между центрами d = OI показывает, насколько далеко друг от друга расположены точки O и I. Оно не зависит от того, какую сторону или вершину выбрали для измерения: расстояние между двумя заданными точками однозначно. В теореме Эйлера обычно вместо d пишут OI, чтобы сразу видеть, какие именно центры сравниваются.
Теорема Эйлера утверждает, что квадрат расстояния между центрами равен произведению радиуса описанной окружности на разность этого радиуса и удвоенного радиуса вписанной: OI² = R(R − 2r). Квадрат появляется потому, что расстояния в геометрии часто связываются через теорему Пифагора. Формула объединяет величины, которые описывают и положение центров, и размеры обеих окружностей.
Геометрическую идею доказательства можно понять через перпендикуляры к сторонам. Радиус, проведённый к точке касания вписанной окружности, перпендикулярен стороне, а отрезок от центра описанной окружности к середине хорды также перпендикулярен этой хорде. Проведя вспомогательные отрезки и используя эти прямые, получают прямоугольные треугольники; выражают их стороны через R и r, а затем применяют теорему Пифагора. После объединения равенств получается формула Эйлера.
В выражении R − 2r учитывается не просто радиус вписанной окружности, а его удвоенная величина. Именно такое сочетание возникает при сравнении прямоугольных треугольников, построенных у сторон, и при переходе от их катетов к квадрату OI. В равностороннем треугольнике окружности имеют общий центр, и тогда R − 2r = 0; при иных формах треугольника центры обычно разнесены.
Квадрат расстояния не может быть отрицательным, а R — положительная длина. Поэтому из равенства OI² = R(R − 2r) следует, что R − 2r не меньше нуля. Получаем R ≥ 2r: радиус описанной окружности не меньше удвоенного радиуса вписанной.
Равенство R = 2r возможно только при OI² = 0, то есть при OI = 0. Это означает, что центры окружностей совпали, а для треугольника такое расположение получается в равностороннем случае. Следовательно, равносторонний треугольник не только даёт пример равенства, но и показывает, когда достигается граница в неравенстве.
| Что рассматриваем | Обозначение или условие | Результат |
|---|---|---|
| Расстояние между центрами окружностей | d = OI | Расстояние от O до I |
| Связь расстояния и радиусов | R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности | OI² = R(R − 2r) |
| Следствие для радиусов | OI² ≥ 0, R > 0 | R ≥ 2r |
| Условие равенства | OI = 0 | Центры совпадают в равностороннем треугольнике |
Сначала определите, какие величины даны и какую требуется найти, затем выберите подходящую запись формулы. Если вычисляете расстояние, после нахождения OI² извлеките неотрицательный квадратный корень. Для проверки ответа учитывайте, что радиусы положительны и должно выполняться R ≥ 2r.
Задача 1. В треугольнике R = 5 см, r = 2 см. Найдите расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей. Известны оба радиуса, поэтому подставим их в теорему Эйлера. Затем найдём само расстояние, учитывая, что оно неотрицательно.
Ответ: √5 см.
Задача 2. Расстояние между центрами окружностей равно 3 см, радиус описанной окружности — 5 см. Найдите радиус вписанной окружности. Здесь неизвестно r, поэтому удобно раскрыть скобки в формуле и перенести слагаемые. После деления на 2R получим выражение для r.
Ответ: 1,6 см. Полученное значение меньше R/2 = 2,5 см, поэтому оно согласуется с неравенством R ≥ 2r.
Задача 3. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника не меньше удвоенного радиуса вписанной, и установите, когда достигается равенство. Теорема Эйлера уже выражает разность радиусов через квадрат расстояния, а квадрат любой длины неотрицателен. Это позволяет доказать неравенство без дополнительных построений.
Ответ: R ≥ 2r; равенство достигается для равностороннего треугольника.
Путаница между центрами описанной и вписанной окружностей приводит к неверному пониманию OI. Эти центры заданы разными построениями: O — пересечение серединных перпендикуляров, I — пересечение биссектрис. Проверяйте, какую окружность и какую точку обозначает каждый символ.
В формуле иногда пишут d² = R(R − r), пропуская множитель 2 перед r. Ошибка возникает, если вспоминать формулу приблизительно или не сверить её со стандартной записью OI² = R(R − 2r). Перед подстановкой чисел перепишите формулу полностью и проверьте скобки.
При извлечении квадратного корня можно ошибочно указать отрицательное значение расстояния. Такое происходит, когда корень рассматривают только как алгебраическое решение, забывая геометрический смысл величины. Расстояние всегда неотрицательно: из OI² = 5 следует OI = √5, а не −√5.
Из R ≥ 2r не следует, что равенство выполняется в каждом треугольнике. Неравенство допускает и строгое значение R > 2r, а равенство требует OI = 0. Сверяйте вывод с условием равенства в теореме: центры совпадают только в равностороннем треугольнике.
Для работы с теоремой нужны определения вписанной и описанной окружностей, их центров и радиусов. Доказательство опирается на свойства биссектрис, серединных перпендикуляров и прямоугольных треугольников, поэтому полезно уметь находить в построении перпендикулярные отрезки и применять теорему Пифагора. В задачах теорема помогает находить радиусы и расстояние между центрами, а также связывает эти вычисления с другими метрическими соотношениями треугольника.
Что именно утверждает теорема Эйлера о треугольнике?
Квадрат расстояния OI между центрами описанной и вписанной окружностей равен R(R − 2r). Здесь R — радиус описанной окружности, а r — радиус вписанной.
Что обозначают R, r и OI в формуле?
R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности. OI — расстояние между их центрами: O — центр описанной окружности, I — центр вписанной.
Как из теоремы Эйлера получить неравенство R ≥ 2r?
Расстояние OI неотрицательно, поэтому его квадрат тоже неотрицателен. Из равенства OI² = R(R − 2r) и того, что R > 0, следует R − 2r ≥ 0, то есть R ≥ 2r.
Когда центры вписанной и описанной окружностей совпадают?
Центры совпадают в равностороннем треугольнике: в нём биссектрисы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Тогда OI = 0 и R = 2r.
Как найти один из радиусов, если известны расстояние между центрами и другой радиус?
Подставьте известные величины в формулу OI² = R(R − 2r) и выразите неизвестный радиус. Например, если известны OI и R, то r = (R² − OI²) / (2R).
29*. Теорема Эйлера
