§ 25. Теорема Эйлера

Определения и обозначения

Теорема Эйлера рассматривает выпуклый многогранник. Так называют многогранник, который целиком лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани; например, куб выпуклый, а многогранник с «впадиной» — нет. Уточнение о выпуклости необходимо, потому что именно для такого класса тел далее устанавливается общая формула.

Вершинами многогранника называют точки, в которых сходятся его рёбра. Это угловые точки поверхности, и при подсчёте каждую из них учитывают один раз, даже если из неё выходит несколько рёбер. Число вершин обозначают буквой V.

Рёбра — это отрезки пересечения соседних граней. Каждое ребро соединяет две вершины и служит общей стороной двух граней; считать его нужно как один элемент, а не отдельно со стороны каждой грани. Число рёбер обозначают буквой E.

Грани выпуклого многогранника — многоугольники, образующие его поверхность. Их считают по отдельности: например, у куба шесть квадратных граней, хотя на чертеже часть поверхности может быть скрыта. Число граней обозначают буквой F, и это обозначение понадобится вместе с V и E в формуле теоремы.

Как это устроено

Теорема Эйлера утверждает: у любого выпуклого многогранника сумма числа вершин и числа граней на два больше числа рёбер. Иначе говоря, V + F = E + 2. Такое соотношение удивительно тем, что не зависит от размеров тела, вида его граней или их количества: важно лишь, что многогранник выпуклый.

Обозначив числа вершин, рёбер и граней буквами V, E и F, получаем запись V − E + F = 2. Знак минус перед E позволяет выразить постоянную связь между тремя количествами элементов. Из формулы можно получить и другие варианты: F = 2 − V + E, E = V + F − 2 или V = 2 + E − F.

Проверить формулу можно на знакомых телах. У тетраэдра четыре вершины, шесть рёбер и четыре грани, поэтому 4 − 6 + 4 = 2. У куба восемь вершин, двенадцать рёбер и шесть граней, и здесь 8 − 12 + 6 = 2; аналогично проверяют другие выпуклые многогранники.

Идею доказательства удобно понять через изображение поверхности на плоскости. Если спроецировать многогранник так, чтобы его поверхность стала плоским разбиением, а одну грань считать внешней областью, получится связная сеть вершин и рёбер. Можно удалять рёбра, разделяющие две области: число рёбер и число областей при этом уменьшаются на единицу, поэтому значение V − E + F сохраняется. Продолжая упрощение, получают дерево; удаление его конечного ребра вместе с конечной вершиной также не меняет выражение, пока не останется одна вершина и одна область, для которых оно равно 2.

Теорему применяют именно к выпуклым многогранникам, поэтому сначала нужно убедиться, что условие задачи подходит. Если известны любые два из чисел V, E и F, третье можно найти из формулы, а затем проверить, что ответ имеет смысл. Это полезный способ не только вычислять, но и обнаруживать ошибку в подсчётах.

Проверка теоремы Эйлера на выпуклых многогранниках

Чтобы пользоваться таблицей, сначала отдельно сосчитайте вершины, рёбра и грани выбранного многогранника, а затем подставьте числа в последний столбец. Если результат равен двум, подсчёты согласуются с теоремой Эйлера. Таблица также показывает, что формула выполняется для тел с разным устройством граней.

Разбор задач

Задача 1. У тетраэдра подсчитать число вершин, рёбер и граней и проверить теорему Эйлера. У тетраэдра четыре треугольные грани, а каждая пара граней встречается по ребру. Удобно проверить элементы по отдельности, чтобы не принять сторону грани за отдельное ребро второй раз.

1. Сосчитаем угловые точки: у тетраэдра четыре вершины, значит V = 4. Каждая пара из четырёх вершин соединена ребром, поэтому рёбер шесть и E = 6. Это можно также проверить по рисунку, отмечая уже посчитанные отрезки.
2. Поверхность тетраэдра состоит из четырёх треугольников, следовательно, F = 4. Подставим значения в формулу: V − E + F = 4 − 6 + 4 = 2. Равенство выполняется.

Ответ: V = 4, E = 6, F = 4; теорема Эйлера подтверждается. Важно, что при подсчёте рёбер каждая общая сторона двух треугольников считается один раз. Поэтому число сторон всех граней не следует напрямую принимать за число рёбер.

Задача 2. У выпуклого многогранника 12 вершин и 18 рёбер. Найти число граней. Здесь не нужно перечислять возможные грани: связь между тремя числами уже дана теоремой Эйлера, а неизвестным является F.

1. Запишем равенство V − E + F = 2 и подставим известные значения: 12 − 18 + F = 2. Сначала вычислим разность известных чисел, получив −6 + F = 2. Так неизвестная величина остаётся в одном слагаемом.
2. Прибавим 6 к обеим частям: F = 8. Число граней получилось целым и положительным, как и должно быть для многогранника. Полученный ответ также возвращает исходное равенство: 12 − 18 + 8 = 2.

Ответ: у многогранника 8 граней. Проверка обратной подстановкой помогает заметить ошибку со знаком, которая легко возникает при переносе слагаемых. Условие о выпуклости позволяет применить теорему.

Задача 3. В выпуклом многограннике все грани — треугольники, а вершин восемь. Найти число рёбер и граней. Одной теоремы Эйлера недостаточно, чтобы определить два неизвестных числа, поэтому нужно использовать дополнительную информацию о форме граней.

1. Обозначим числа рёбер и граней через E и F. У каждого треугольника три стороны, значит сумма числа сторон всех граней равна 3F; каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому та же сумма равна 2E. Получаем первое уравнение: 3F = 2E.
2. Подставим V = 8 в формулу Эйлера: 8 − E + F = 2, откуда E − F = 6. Из первого уравнения E = 3F/2; подставляя, получаем 3F/2 − F = 6, то есть F/2 = 6 и F = 12.
3. Теперь найдём число рёбер: E = 3F/2 = 18. Проверим оба условия: 3 · 12 = 2 · 18, а 8 − 18 + 12 = 2. Значит, найденные числа удовлетворяют и подсчёту сторон, и теореме Эйлера.

Ответ: E = 18, F = 12. Дополнительное соотношение появилось именно из условия, что каждая грань треугольная. Если бы грани были разных типов, вместо 3F пришлось бы считать общее число их сторон.

Типичные ошибки

Иногда число рёбер подменяют суммой сторон всех граней. Ошибка возникает потому, что ребро действительно является стороной грани, но оно одновременно принадлежит двум граням и потому попадает в такую сумму дважды. Для проверки разделите сумму сторон граней на два; в частности, при треугольных гранях верно 3F = 2E.

Можно перепутать вершины и грани, особенно если изображение многогранника дано без подписей или часть элементов скрыта. Чтобы этого избежать, считайте отдельно угловые точки, отрезки между ними и многоугольные участки поверхности, помечая уже учтённые элементы. Затем сравните полученные значения с тем, что видно по связям между гранями и рёбрами.

Ещё одна ошибка — записать V + E + F = 2 или изменить знаки в формуле. Такое случается, когда запоминают только наличие трёх букв, но не их порядок и знаки. Проверяйте запись на кубе: 8 − 12 + 6 должно дать 2, тогда как неверная сумма этого свойства не показывает.

Наконец, формулу могут применять к любому телу, не проверив выпуклость. Причина — в том, что знакомое равенство запоминается без условия теоремы. Перед вычислениями убедитесь, что многогранник выпуклый; для невыпуклого объекта одной этой формулировки недостаточно.

Связь с другими темами

Для работы с теоремой нужно уметь распознавать многогранники и различать их вершины, рёбра и грани. Навык подсчёта особенно важен, когда изображение передаёт объёмное тело на плоскости: скрытые элементы не должны выпадать из рассмотрения. Полезно отдельно считать каждый вид элементов и затем проверять результат формулой.

Теорема Эйлера применяется в задачах на подсчёт элементов многогранников и при изучении разбиений поверхности на грани. Если о гранях известно что-то дополнительно, например что все они треугольные, это даёт новые соотношения для решения задачи. Поэтому формулу Эйлера часто используют вместе с подсчётом сторон граней.

Что запомнить

• Для выпуклого многогранника V − E + F = 2.
• V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней.
• Зная любые два из чисел V, E и F, можно найти третье.
• При подсчёте сторон всех граней каждое ребро учитывается дважды.
• Теорема Эйлера в этой формулировке относится к выпуклым многогранникам.