Развертка выпуклого многогранника

Определения и обозначения

Выпуклый многогранник — многогранник, поверхность которого ограничивает выпуклое тело. Выпуклость означает, что отрезок между любыми двумя точками тела не выходит за его пределы. Поэтому грани можно последовательно поворачивать вокруг общих рёбер и раскладывать на плоскости, не разрезая сами многоугольники.

Развёртка выпуклого многогранника — плоская фигура из многоугольников, равных граням многогранника и соединённых так, чтобы по ним можно было восстановить его поверхность. Она нужна, например, для изготовления бумажной модели или вычисления площади поверхности. Каждая часть развёртки сохраняет форму и размеры своей грани.

Разрезание по рёбрам — отделение некоторых граней друг от друга путём разрезания только части рёбер. Такой выбор оставляет часть граней соединёнными, поэтому после раскладывания получается одна связная плоская фигура. Если разрезать все рёбра, грани разойдутся на отдельные части.

Склеивание развёртки — мысленное соединение соответствующих сторон её многоугольников, чтобы восстановить многогранник. Оно помогает проверить, какие стороны станут общими рёбрами, и не возникнут ли разрывы или наложения. Фактически это обратное действие по отношению к разрезанию и раскладыванию поверхности.

Как это устроено

Чтобы получить развёртку, часть рёбер оставляют соединёнными, а остальные разрезают. Затем грани поворачивают вокруг оставленных рёбер и раскладывают в одной плоскости. Оставленные соединения работают как линии сгиба: благодаря им все части сохраняют связь друг с другом, а поверхность раскрывается постепенно.

Каждая часть развёртки должна быть равна одной из граней исходного многогранника. Причина в том, что при повороте грань движется как жёсткая фигура: её стороны и углы не меняются. Поэтому нельзя растягивать многоугольник или заменять его похожей фигурой — после складывания такая часть уже не совпадёт с нужным участком поверхности.

Проверяя плоскую фигуру, мысленно сгибают её по сторонам, которые соединяют многоугольники. Нужно установить, какие стороны при складывании должны встретиться и образовать рёбра тела. Если после соединения поверхность замыкается целиком, не оставляя щелей и не совмещая две грани в одном месте, фигура подходит; одного совпадения форм многоугольников недостаточно.

Один многогранник может иметь несколько развёрток, потому что разрезать можно разные наборы его рёбер. При каждом допустимом выборе грани сохраняются, но располагаются на плоскости иначе. Например, у куба квадраты можно разложить несколькими способами, если каждый вариант после складывания даёт шесть разных граней.

Не всякий выбор разрезов приводит к развёртке. Если разрезать слишком много рёбер, грани могут разделиться на несколько несвязанных частей; если разрезать неудачно или расположить части неподходящим образом, они способны наложиться при складывании. Поэтому проверяют и связность плоской фигуры, и результат её мысленного сгибания.

Соответствие многогранника и его развёртки

Сопоставляйте части поверхности и фигуры по строкам таблицы: так легче не перепутать грани и рёбра. Особенно внимательно проверьте соседство граней и внешний контур, поскольку при раскладывании соседние грани могут оказаться далеко друг от друга на плоскости. Совпадение площадей поверхности служит дополнительной проверкой, но само по себе не доказывает, что фигура складывается в нужное тело.

Разбор задач

Задача 1. Изобразить развёртку куба и обозначить стороны, которые при складывании станут общими рёбрами. Нужно расположить шесть равных квадратов так, чтобы поверхность собралась без наложений. Возьмём один квадрат в центре, по одному присоединим к каждой из его четырёх сторон, а шестой — к внешней стороне одного из этих квадратов.

1. Обозначим центральный квадрат как нижнюю грань, а четыре примыкающих к нему — как боковые.
2. При мысленном подъёме боковых квадратов каждая их сторона, общая с центральным квадратом, становится ребром куба.
3. Шестой квадрат поднимаем как верхнюю грань. Его сторона соединится с внешней стороной бокового квадрата, к которому он прикреплён на развёртке; остальные соответствующие стороны боковых граней также встретятся при замыкании куба.

Ответ: подходит описанное расположение из шести квадратов. Стороны, общие в плоской фигуре, являются линиями сгиба, а указанные внешние стороны после складывания попарно образуют рёбра куба.

Задача 2. Дана фигура из шести квадратов в форме креста. Определить, является ли она развёрткой куба, и указать, какие квадраты образуют его грани. Слово «крест» само по себе не задаёт точного расположения, поэтому рассмотрим вариант: один квадрат в центре, четыре вокруг него, шестой присоединён к внешней стороне одного из четырёх.

1. Центральный квадрат считаем основанием куба, а четыре соседних квадрата — его боковыми гранями.
2. Мысленно сгибаем эти четыре квадрата вверх по сторонам, общим с центральным. Они образуют замкнутую боковую поверхность без повторения одной и той же грани.
3. Шестой квадрат складываем навстречу центральному: он закрывает верх куба, а не занимает место другой боковой грани.

Ответ: такой крест является развёрткой куба. Центральный квадрат, четыре окружающих его квадрата и присоединённый снаружи шестой квадрат образуют шесть разных граней; для иного расположения «креста» проверку нужно выполнить заново.

Задача 3. Для поверхности треугольной призмы указать разрезы, получить развёртку и проверить соответствие сторон. У призмы три боковые грани и два треугольных основания. Удобно разложить боковые грани полосой, сохранив соединения между ними, а основания присоединить к подходящим сторонам полосы.

1. Оставляем соединёнными три боковые грани, чтобы они раскрылись в ряд прямоугольников, и разрезаем остальные рёбра, мешающие раскладыванию.
2. Разрезаем рёбра вокруг оснований так, чтобы каждый треугольник остался прикреплён к полосе только одной стороной; два треугольника располагаем у разных сторон полосы.
3. Сверяем стороны: каждая сторона треугольника должна соответствовать стороне боковой грани той же длины. При складывании прямоугольники образуют боковую поверхность, а треугольники закрывают её концы.

Ответ: получается полоса из трёх боковых граней с двумя прикреплёнными основаниями. Если соответствующие стороны совпадают по длине и складываются без наложений, фигура является развёрткой треугольной призмы.

Типичные ошибки

Ошибка: считать развёрткой любую фигуру из многоугольников, равных граням. Её допускают, потому что проверяют только форму частей, забывая о способе их соединения. Сложите фигуру мысленно: она должна образовать именно заданный многогранник, а не просто содержать подходящие многоугольники.

Ошибка: разрезать все рёбра. Так поступают, принимая «разрезать поверхность» за полное отделение граней, но тогда части могут стать несвязанными. Проверьте, что после раскладывания все многоугольники соединены в одну фигуру.

Ошибка: не проверять наложение граней при складывании. Совпадение отдельных квадратов или других многоугольников ещё не гарантирует, что они займут разные участки поверхности. Мысленно проследите положение каждой грани и убедитесь, что ни одна не попадает на место другой.

Ошибка: путать стороны, соединённые в плоской фигуре, со сторонами, которые соединяются при складывании. Их роли различны: первые служат линиями сгиба, а другие встречаются при замыкании поверхности. Отметьте соответствующие стороны и проверьте их отдельно по тому, какое ребро тела они образуют.

Связь с другими темами

Для изучения развёрток понадобятся понятия грани, ребра и вершины многогранника, а также умение распознавать многоугольники и равные стороны. Это помогает проследить, какие части поверхности соприкасаются и как они расположены. Развёртки применяют при вычислении площади поверхности: площадь фигуры равна сумме площадей её частей. Они также нужны, чтобы изготовлять модели многогранников из бумаги или картона. Проверка того, как части складываются в объёмное тело, развивает пространственное воображение и связывает геометрию на плоскости с геометрией в пространстве.

Что запомнить

• Каждый многоугольник развёртки соответствует грани многогранника.
• Форма и размеры граней при разворачивании не меняются.
• Развёртка должна складываться в поверхность исходного многогранника.
• При складывании соответствующие стороны развёртки становятся общими рёбрами.
• Один многогранник может иметь несколько разных развёрток.
• При проверке развёртки важно исключить разрывы и наложение граней.