"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Выпуклый многогранник — тело, поверхность которого составлена из многоугольников. У него можно посчитать вершины, рёбра и грани, а теорема Эйлера связывает эти три числа простой формулой: В − Р + Г = 2. Она позволяет находить неизвестное число элементов, если известны два остальных, и проверять, могут ли заданные числа соответствовать выпуклому многограннику. Для обоснования формулы поверхность мысленно разворачивают в плоский граф.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Выпуклый многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников и которое вместе с любым отрезком между его точками содержит этот отрезок целиком. Например, куб выпуклый: отрезок между любыми двумя его точками остаётся внутри куба. Условие выпуклости важно, потому что именно для таких тел сформулирована теорема Эйлера.
Вершина многогранника — точка, в которой сходятся его рёбра. Это угловые точки тела, по которым удобно считать его элементы и описывать устройство граней. Число вершин обозначают буквой В.
Ребро многогранника — сторона многоугольной грани, общая для двух соседних граней. Иными словами, ребро лежит на стыке двух частей поверхности, поэтому при подсчёте сторон всех граней оно встречается дважды. Число рёбер обозначают буквой Р.
Грань многогранника — многоугольник, составляющий часть его поверхности. Грани ограничены рёбрами, а их углы находятся в вершинах. Число граней обозначают буквой Г; вместе В, Р и Г позволяют записать теорему Эйлера.
Обозначим количество вершин через В, рёбер — через Р, граней — через Г. Теорема Эйлера утверждает, что для выпуклого многогранника В − Р + Г = 2. Это не формула для площади или объёма: она описывает, как связаны между собой три вида элементов поверхности.
Связь полезна потому, что число вершин, рёбер и граней нельзя выбирать независимо друг от друга. Стоит знать любые два числа — третье можно вычислить, а полученный результат использовать для проверки задачи. Форма и размеры тела на равенство не влияют: важны его устройство и выпуклость, а не то, вытянут ли многогранник или похож ли он на правильную фигуру.
Идею доказательства можно увидеть, если мысленно убрать одну грань многогранника, словно открыть оболочку, а оставшуюся поверхность расправить на плоскости. Рёбра и вершины при этом образуют плоский граф: линии графа не пересекаются, кроме точек-вершин. Такое представление удобно, потому что поверхности уже можно сопоставить области на плоскости.
Для связного плоского графа число вершин минус число рёбер плюс число областей равно двум. Областью называют часть плоскости, ограниченную линиями графа; одна из областей находится снаружи рисунка. Её тоже учитывают: если считать только внутренние области, равенство перестанет работать. Именно учёт внешней области сохраняет постоянную правую часть, равную двум.
После удаления одной грани области плоского графа соответствуют граням многогранника, кроме выбранной. Значит, к числу областей графа нужно прибавить одну, чтобы получить Г, а число вершин и рёбер остаётся прежним. Подставляя это соответствие в равенство для плоского графа, получаем В − Р + Г = 2. Так плоская формула объясняет теорему для выпуклой поверхности.
| Многогранник | Вершины В | Рёбра Р | Грани Г | Проверка В − Р + Г |
|---|---|---|---|---|
| Тетраэдр | 4 | 6 | 4 | 4 − 6 + 4 = 2 |
| Куб | 8 | 12 | 6 | 8 − 12 + 6 = 2 |
| Октаэдр | 6 | 12 | 8 | 6 − 12 + 8 = 2 |
| Произвольный выпуклый многогранник | В | Р | Г | В − Р + Г = 2 |
В таблице можно проверить теорему на знакомых телах: в каждой строке с конкретными числами результат равен двум. В последней строке записано общее соотношение, которое подходит любому выпуклому многограннику. Если известны два значения, подставьте их в формулу и вычислите третье.
Здесь известны В и Р, а найти нужно Г. Подставим данные в формулу Эйлера: 8 − 12 + Г = 2. Чтобы определить Г, перенесём известные числа и выполним вычисления.
Проверка: 8 − 12 + 6 = 2. Число найдено верно. Ответ: 6 граней.
Сначала используем теорему Эйлера, чтобы найти число рёбер. Но равенство само по себе не всегда гарантирует, что многогранник с такими числами существует, поэтому дополнительно проверим устройство его граней. У каждой грани должно быть не меньше трёх сторон, а каждое ребро принадлежит двум граням.
Итак, формула Эйлера даёт 23 ребра, и необходимые условия подсчёта сторон граней этому не противоречат. Однако одной такой проверки недостаточно, чтобы построить многогранник или доказать его существование. Ответ: 23 ребра; по теореме и указанной проверке сочетание возможно, но для доказательства существования нужны дополнительные сведения.
Помимо теоремы Эйлера здесь помогает условие о треугольных гранях. Если граней Г, то суммарное число сторон всех граней равно 3Г. Но каждое ребро принадлежит двум граням, поэтому та же сумма равна 2Р; получаем систему уравнений.
Проверим результат: 12 − 30 + 20 = 2, а 3 · 20 = 2 · 30. Оба равенства выполняются. Ответ: 20 граней и 30 рёбер.
Применяют теорему к невыпуклому многограннику, не проверив условия. Такое происходит, когда запоминают только формулу и считают, что она относится к любому телу с многоугольными гранями. Сначала убедитесь, что тело выпуклое и задача рассматривает именно этот случай.
Путают число рёбер с суммой сторон всех граней. При суммировании сторон каждое ребро учитывается дважды, потому что оно общее для двух граней; поэтому сумма равна 2Р, а не Р. Проверьте себя, проследив, какие две грани соседствуют у выбранного ребра.
Подставляют числа в неверном порядке или меняют знаки в формуле. Причина часто в том, что В, Р и Г записывают без подписей, а затем путают их при вычислении. Перед подстановкой подпишите каждое число и сохраните порядок В − Р + Г = 2.
При доказательстве через плоский граф не учитывают внешнюю область. Её могут не заметить, потому что она не заключена внутри нарисованных рёбер, но она считается одной из областей плоскости. Пересчитайте области вместе с внешней: только тогда равенство для связного плоского графа даёт два.
Для теоремы Эйлера нужно знать, как устроен выпуклый многогранник, и уметь различать его вершины, рёбра и грани. Эти понятия помогают внимательно считать элементы и понимать, какие из них связаны друг с другом. Теорема пригодится в задачах на нахождение неизвестного числа элементов и при выводе соотношений для многогранников с заданными гранями. Например, условие о треугольных гранях даёт дополнительное равенство 3Г = 2Р.
Что утверждает теорема Эйлера о многогранниках?
Для любого выпуклого многогранника число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум. Если обозначить эти числа через В, Р и Г, формула имеет вид В − Р + Г = 2.
Какие многогранники удовлетворяют формуле Эйлера?
В школьной формулировке теорема относится к выпуклым многогранникам. Выпуклость означает, что вместе с любыми двумя точками тела оно содержит весь отрезок между ними.
Как найти число рёбер, если известны числа вершин и граней?
Нужно выразить Р из формулы: Р = В + Г − 2. Например, если В = 10, а Г = 7, то Р = 10 + 7 − 2 = 15.
Почему при подсчёте сторон граней каждое ребро считают дважды?
Ребро является общей стороной двух соседних граней. Поэтому при подсчёте всех сторон всех граней каждое ребро входит в сумму два раза.
Зачем при доказательстве теоремы рассматривают плоский граф?
Если убрать одну грань и развернуть оставшуюся поверхность, рёбра и вершины образуют плоский граф. Для такого графа можно установить связь между числами вершин, рёбер и областей, а затем перенести её на многогранник.
29. Теорема Эйлера
