"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Геометрическое тело — это часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. Поверхность служит его границей, но не заменяет само тело: тело включает область, которую она ограничивает. Точки могут находиться внутри этой области, на поверхности или вне тела. Главное свойство, которое изучают в этой теме, — выпуклость: тело выпукло, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит весь отрезок между ними. Это определение помогает классифицировать тела и подготовиться к изучению многогранников, тел вращения и объёмов.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое тело — часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. Поверхность образует границу, а тело включает область по одну сторону от неё. Это определение нужно, чтобы понимать, какой именно пространственный объект рассматривают, а не говорить только о его очертании.
Поверхность тела — граница, отделяющая тело от остальной части пространства. На ней заканчивается область, занимаемая телом, и начинается внешняя область. Понятие поверхности помогает точно различать границу и то, что она ограничивает.
Внутренняя точка тела находится внутри ограниченной области и не принадлежит поверхности. Около такой точки можно выбрать достаточно маленькую область, которая целиком остаётся внутри тела. Это понятие нужно, чтобы отличать внутренние точки от точек границы и внешних точек.
Выпуклое тело вместе с любыми двумя своими точками содержит весь соединяющий их отрезок. Иначе говоря, ни одна часть такого отрезка не выходит за пределы тела. Определение позволяет проверять выпуклость по точкам, а не по внешнему впечатлению от формы.
Для описания тела недостаточно назвать только его поверхность: одна и та же граница сама по себе не указывает, какую область пространства считают телом. Например, поверхность шара и ограниченный ею шар — разные объекты. Чтобы задать тело, нужно иметь в виду и границу, и область, которую она замыкает. Поэтому в геометрии поверхность рассматривают как оболочку, а тело — как всю ограниченную ею часть пространства.
Пространство относительно тела делится на внутреннюю область, поверхность и внешнюю область. Внутренние точки принадлежат телу, но не его границе; точки поверхности принадлежат границе; внешние точки лежат за ней. Разделение нужно потому, что принадлежность поверхности не равна нахождению внутри. Поверхность отделяет внутреннюю часть от внешней, как граница области на плоскости отделяет фигуру от окружающей плоскости.
Проверяя выпуклость, выбирают две точки тела и мысленно проводят между ними отрезок. Если тело выпуклое, отрезок целиком проходит внутри него или по его границе. Условие должно выполняться для любой пары точек, поэтому проверка лишь нескольких удобных пар не доказывает выпуклость. Зато одного отрезка, выходящего наружу, достаточно, чтобы опровергнуть это свойство.
Куб — пример выпуклого тела: каковы бы ни были две его точки, соединяющий их отрезок остаётся внутри куба. Тело с глубокой выемкой может быть невыпуклым: если взять точки по разные стороны выемки, часть отрезка между ними иногда окажется в пустой области. Решающее значение имеют не слова «с выемкой» или «без выемки», а конкретное условие об отрезке. Для доказательства невыпуклости достаточно указать подходящую пару точек.
Тело и ограничивающая его поверхность нельзя считать одним объектом, потому что у них разный состав точек. Поверхность содержит точки границы, тогда как тело охватывает также точки внутри ограниченной области. Например, у шара поверхность — сферическая оболочка, а сам шар включает и эту оболочку, и внутренность. Различение пригодится, когда будут изучаться объёмы: объём относится к телу, а не только к его границе.
| Понятие | Что означает | Как распознать |
|---|---|---|
| Геометрическое тело | Часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью | Учитывают область внутри границы, а не только оболочку |
| Поверхность тела | Граница между телом и остальным пространством | Точка принадлежит границе, но не находится во внутренней области |
| Внутренняя точка | Точка внутри тела, не принадлежащая поверхности | Рядом с ней можно взять малую область целиком внутри тела |
| Выпуклое тело | Тело, содержащее отрезок между любыми двумя своими точками | Проверяют условие для произвольной пары точек |
Сначала найдите, о каком объекте говорится: о всей области, её границе или отдельной точке. Затем примените признак из третьего столбца. Для выпуклости важна проверка отрезков, а для остальных понятий — положение точки относительно границы.
Задача 1. Для изображённого шара укажите, что является телом, а что — его поверхностью. Нужно не смешать ограниченную область с её границей. Разберём объект через положение точек.
Ответ: поверхностью является сферическая граница, а телом — вся ограниченная ею область вместе с границей. Если взять только оболочку, внутренние точки шара останутся за пределами описания.
Задача 2. Определите, является ли куб выпуклым телом, обосновав ответ для произвольных двух его точек. Нельзя ограничиться тем, что куб выглядит ровным или симметричным. Требуется проверить условие определения для любой пары.
Ответ: куб является выпуклым телом. В обосновании использовано именно условие об отрезке между произвольными точками, а не только форма куба.
Задача 3. Даны два тела: одно без выемок, другое с глубокой выемкой. Для каждого выясните, может ли отрезок между двумя точками тела выходить за его пределы. Внешний вид подсказывает возможный результат, но его нужно подтвердить проверкой точек.
Ответ: для тела без выемок отрезок может целиком оставаться в теле; для тела с подходящей глубокой выемкой можно найти пару, у которой часть отрезка выходит наружу. Одного такого примера достаточно, чтобы установить невыпуклость второго тела.
Считать телом только поверхность. Так думают, потому что на чертеже чаще всего хорошо видна оболочка, а внутреннюю область отдельно не изображают. Но поверхность содержит только граничные точки, а тело включает также ограниченную область. Проверьте себя: входят ли в ваше описание точки внутри оболочки?
Считать любую точку не на поверхности внутренней. Ошибка возникает из-за упрощённого деления точек на граничные и остальные. На самом деле оставшиеся точки могут находиться как внутри, так и вне тела. Чтобы проверить положение, выясните, с какой стороны границы лежит точка.
Проверять выпуклость только на отдельных парах точек. Несколько отрезков внутри тела ещё не доказывают, что так будет для любых точек. Определение требует универсального условия. Для доказательства выпуклости обоснуйте его для произвольной пары, а для опровержения найдите один контрпример.
Считать гладкую или округлую поверхность доказательством выпуклости. Внешняя ровность поверхности не показывает, где пройдут отрезки между точками тела. Даже гладкая граница может иметь участок, образующий выемку. Проверяйте не внешний вид, а целиком ли любой соединяющий отрезок лежит в теле.
Чтобы изучать геометрические тела, нужно различать точку, прямую, плоскость и отрезок в пространстве. Именно точками задают проверяемую пару, а отрезок между ними используют в определении выпуклости. Пространственное положение помогает представить, проходит ли отрезок внутри тела или выходит наружу.
Понятие поверхности связано с плоскими фигурами и их границами. Как граница фигуры отделяет её от остальной плоскости, так поверхность отделяет тело от остального пространства. При этом нужно учитывать измерение: граница тела в пространстве сама тоже является пространственным объектом.
Понятие геометрического тела станет основой для изучения многогранников и тел вращения. В дальнейшем для тел будут находить объёмы, поэтому важно понимать, какую область пространства измеряют. Различие между телом и поверхностью также помогает не смешивать объёмные характеристики с характеристиками границы.
Чем геометрическое тело отличается от его поверхности?
Поверхность — это граница тела, а геометрическое тело включает ограниченную этой границей часть пространства. Например, поверхность шара состоит из точек на границе, а шар включает также все точки внутри.
Может ли точка не лежать на поверхности и при этом находиться вне тела?
Да. Точка вне тела не принадлежит ни его внутренней области, ни поверхности. Поэтому отсутствие точки на поверхности ещё не означает, что она находится внутри.
Как по определению проверить, является ли тело выпуклым?
Нужно взять любые две точки тела и проверить, целиком ли отрезок между ними лежит в теле. Проверка должна выполняться для каждой пары точек, а не только для выбранных примеров.
Достаточно ли найти один отрезок, чтобы доказать, что тело невыпукло?
Да. Если найдены две точки тела, а часть соединяющего их отрезка выходит за пределы тела, условие выпуклости нарушено. Значит, тело невыпукло.
Почему гладкая поверхность сама по себе не доказывает выпуклость тела?
Выпуклость определяют не по тому, насколько ровной или округлой выглядит поверхность, а по расположению отрезков между точками тела. Гладкая поверхность может ограничивать тело с выемкой, и тогда некоторый такой отрезок выйдет за пределы тела.
28. Геометрическое тело
