27. Понятие многогранника

Определения и обозначения

Многогранная поверхность — замкнутая поверхность, составленная из конечного числа плоских многоугольников, соединённых сторонами. Стороны соседних многоугольников совпадают, поэтому поверхность не распадается на отдельные части и не имеет отверстий. Это понятие помогает описать границу пространственного тела.

Многогранник — геометрическое тело, ограниченное многогранной поверхностью. Иначе говоря, поверхность является внешней границей, а многогранник включает и внутреннюю часть, ограниченную этой границей. Такое различие нужно, чтобы не называть телом одну лишь его оболочку.

Грань — многоугольник, входящий в многогранную поверхность; ребро — сторона грани, а вершина — конец ребра. В обычном многограннике каждое ребро является общей стороной двух граней. Эти названия позволяют точно описывать части тела и связи между ними.

Выпуклый многогранник вместе с любыми двумя своими точками содержит весь соединяющий их отрезок. Если хотя бы для одной пары точек часть отрезка выходит за пределы тела, многогранник невыпуклый. Определение нужно, чтобы проверять выпуклость не только по внешнему виду, но и по точному признаку.

Как это устроено

Представим несколько плоских многоугольников, соединённых сторонами. Если собрать их так, чтобы они образовали замкнутую оболочку, получится многогранная поверхность. Замкнутость необходима: незамкнутые многоугольники оставляют край или отверстие и не могут полностью ограничить тело.

Каждый многоугольник оболочки называют гранью, потому что именно он образует плоскую часть её поверхности. Сторона, по которой грани соединяются, становится ребром, а концы таких сторон — вершинами. Так названия элементов связаны с тем, какую роль они играют в соединении частей оболочки.

Поверхность и многогранник — не одно и то же. Поверхность отделяет тело от окружающего пространства, а многогранник включает область, которую эта поверхность ограничивает. Например, оболочка коробки соответствует многогранной поверхности, а коробка вместе с внутренней областью — многограннику; если имеется в виду только пустая оболочка, это не само тело.

Выпуклость проверяют по всем точкам тела, а не по тому, кажется ли его контур ровным на рисунке. У выпуклого многогранника отрезок между любыми двумя внутренними точками или точками границы остаётся внутри тела. У тела с выемкой можно выбрать точки по разные стороны выемки так, что часть отрезка окажется снаружи; такой многогранник невыпуклый.

Перечень граней, рёбер и вершин помогает понять устройство тела и не путать его части. Например, у куба можно назвать шесть граней по их расположению, выделить стороны этих квадратов и отметить точки, где стороны сходятся. При подсчёте важно не считать общее ребро дважды только потому, что оно принадлежит двум граням: в перечне рёбер это один элемент.

Элементы и виды многогранников

Пользуйтесь таблицей как последовательностью проверок: сначала выясните, замкнута ли поверхность, затем различите тело и его границу. После этого отмечайте многоугольники, их стороны и точки соединения. Выпуклость проверяется отдельно, по условию об отрезках между любыми двумя точками.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке куба назовите его грани, рёбра и вершины.

Обозначим нижнее основание куба ABCD, а соответствующие вершины верхнего основания — A₁, B₁, C₁, D₁. Названия позволяют перечислить элементы, не полагаясь на то, какие линии на изображении видны лучше. Каждую общую сторону двух квадратов считаем одним ребром.

1. Выделяем плоские многоугольники поверхности: это квадраты ABCD, A₁B₁C₁D₁ и четыре боковых квадрата ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁.
2. Перечисляем стороны этих граней без повторов: AB, BC, CD, DA; A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁; AA₁, BB₁, CC₁, DD₁. Получается 12 рёбер.
3. Записываем точки, где сходятся рёбра: A, B, C, D, A₁, B₁, C₁, D₁. Их восемь, потому что у куба две группы по четыре вершины.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; их названия перечислены в решении. Счёт помогает проверить, что общая сторона соседних граней не учтена дважды.

Задача 2. Является ли тело, ограниченное замкнутой поверхностью из многоугольников, многогранником?

В условии уже указаны две важные характеристики: поверхность замкнута и составлена из многоугольников. Однако нужно выяснить, ограничивает ли она геометрическое тело, ведь именно это входит в определение многогранника. Одного факта, что на поверхности есть многоугольники, недостаточно.

1. Проверяем, что части поверхности плоские и каждая является многоугольником.
2. Убеждаемся, что многоугольники образуют замкнутую оболочку: их стороны соединены так, что граница не обрывается.
3. Проверяем, что оболочка ограничивает геометрическое тело. Тогда её внутреннюю область вместе с границей можно назвать многогранником.

Ответ: да, если указанная замкнутая многогранная поверхность действительно ограничивает тело. Если многоугольники только расположены рядом, но оставляют отверстие или не образуют границы тела, условие определения не выполнено.

Задача 3. По изображению тела установите, выпуклый ли это многогранник.

Не делаем вывод только по внешнему контуру: изображение может скрывать выемку или искажать вид тела. По определению требуется проверить отрезок между любыми двумя точками многогранника. Практически для невыпуклого тела достаточно найти одну пару, которая опровергает это свойство.

1. Выбираем две точки внутри тела или на его границе и мысленно проводим соединяющий их отрезок.
2. Проверяем, остаётся ли весь отрезок в пределах тела. Если он проходит через область снаружи, выбранная пара доказывает невыпуклость.
3. Если тело не имеет выемок и проверка показывает, что отрезки между точками не выходят наружу, делаем вывод о выпуклости, опираясь на признак, а не на одно впечатление от рисунка.

Ответ: тело выпукло, если для любой пары его точек весь соединяющий их отрезок принадлежит телу. Если найден отрезок, часть которого лежит снаружи, тело невыпуклое.

Типичные ошибки

Ошибка: называть многогранником только поверхность. Так говорят, потому что на чертеже обычно видна оболочка, а внутреннюю область показать нельзя. Проверьте себя: поверхность — граница, многогранник — тело, которое она ограничивает.

Ошибка: путать ребро с гранью. Их смешивают, потому что ребро служит границей грани. Но грань — плоский многоугольник, а ребро — его сторона; чтобы проверить ответ, спросите себя, называете ли вы целую плоскую часть или только отрезок.

Ошибка: считать любой набор многоугольников многогранной поверхностью. Многоугольники могут быть разрозненными или образовывать незамкнутую оболочку. Проверьте, соединены ли они сторонами и ограничивают ли замкнутое тело.

Ошибка: определять выпуклость только по внешнему виду. На плоском изображении часть тела скрыта, поэтому выемку можно не заметить. Для проверки используйте определение: если найдётся пара точек, соединяющий отрезок между которыми выходит за тело, оно невыпуклое.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужны понятия многоугольника, его сторон и вершин, а также геометрического тела. Если эти термины знакомы, можно сразу видеть, из каких частей построена пространственная фигура. Понятие многогранника становится основой для изучения призм, пирамид и других тел. Подсчёт граней, рёбер и вершин помогает исследовать их свойства и решать задачи на элементы.

Что запомнить

• Многогранник — тело, ограниченное многогранной поверхностью.
• Грани многогранника — многоугольники.
• Стороны граней образуют рёбра многогранника.
• Концы рёбер являются вершинами многогранника.
• Выпуклый многогранник содержит отрезок, соединяющий любые две его точки.
• Многогранная поверхность — граница тела, а не само тело.