§ 1. Понятие многогранника. Призма

Определения и обозначения

Многогранная поверхность — замкнутая поверхность, составленная из конечного числа многоугольников, соединённых по сторонам. Соседние многоугольники имеют общую сторону, поэтому между ними нет разрыва. Это понятие описывает именно оболочку, а не то, что находится внутри неё. Оно нужно, чтобы точно определить границу многогранного тела.

Многогранник — тело, ограниченное многогранной поверхностью. Поверхность состоит из граней, а тело включает и внутреннюю часть, которую эти грани ограничивают. Например, стенки коробки образуют поверхность, а сама заполненная область соответствует телу. Различие важно, когда говорят о площади поверхности или об объёме.

Призма — многогранник, у которого две грани являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами. Равные многоугольники называют основаниями, а соединяющие их грани — боковыми. Основания могут быть не только треугольными, но и любыми другими многоугольниками. По форме основания призму называют треугольной, четырёхугольной и так далее.

К элементам призмы относятся основания, боковые грани, боковые рёбра и рёбра оснований. Боковые рёбра соединяют соответствующие вершины оснований, а рёбра оснований являются сторонами этих многоугольников. Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований, то есть длина перпендикуляра между ними. Она не всегда совпадает с длиной бокового ребра.

Как это устроено

Многоугольники образуют многогранную поверхность, когда их стороны состыкованы так, что соседние грани имеют общие рёбра. У каждой грани есть границы, но в собранной оболочке отдельные рёбра не заканчиваются свободно: они принадлежат соседним граням. Если оболочка замкнута, она отделяет внутреннюю часть от внешней и ограничивает тело. Поэтому одной плоской фигуры или незамкнутой сборки многоугольников недостаточно, чтобы получить многогранник.

В призме основания равны и лежат в параллельных плоскостях, потому что одно можно получить переносом другого. При таком переносе соответствующие вершины смещаются на одинаковые параллельные отрезки, которые и становятся боковыми рёбрами. Возьмём сторону первого основания и соответствующую ей сторону второго: они равны и параллельны. Четырёхугольник, образованный этими сторонами и боковыми рёбрами, поэтому является параллелограммом, как и каждая боковая грань.

Число сторон основания определяет, сколько элементов повторяется вокруг призмы. Если основание — n-угольник, то в нём n вершин и n сторон, а во втором основании столько же. Поэтому вершин 2n; боковых рёбер n, а рёбер двух оснований вместе 2n, всего рёбер 3n. Каждой стороне основания соответствует боковая грань, значит, их n, а вместе с двумя основаниями получается n + 2 грани.

Высоту нельзя автоматически принимать за боковое ребро: высота измеряется перпендикулярно плоскостям оснований, а боковое ребро может идти наклонно. Перпендикуляр из точки одного основания к плоскости другого показывает кратчайшее расстояние между параллельными плоскостями. Если боковое ребро длины l наклонено к плоскости основания под углом α, его перпендикулярная составляющая равна l sin α. Следовательно, высота h = l sin α, и при наклоне она меньше бокового ребра.

Призму называют прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований; в противном случае она наклонная. У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, потому что боковое ребро перпендикулярно сторонам основания. У наклонной призмы боковые грани остаются параллелограммами, но обычно не являются прямоугольниками. Так различают призмы по взаимному расположению боковых рёбер и оснований, а не по форме самого основания.

Элементы и свойства призмы

В таблице собраны названия элементов и правила подсчёта для призмы с n-угольным основанием. При разборе чертежа сначала отметь два основания и соответствующие вершины, затем выдели боковые грани и рёбра. Для проверки числа элементов подставь количество сторон основания в формулы.

Разбор задач

Задача 1. Дана треугольная призма. Назовите её основания, боковые грани и боковые рёбра. Обозначим вершины одного основания буквами A, B, C, а соответствующие вершины второго — A₁, B₁, C₁. По определению призмы соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами, а соответствующие стороны образуют боковые грани.

1. Основания — треугольники ABC и A₁B₁C₁.
2. Боковые рёбра — AA₁, BB₁ и CC₁, потому что каждое соединяет пару соответствующих вершин.
3. Боковые грани — параллелограммы ABB₁A₁, BCC₁B₁ и CAA₁C₁. Каждая из них построена на одной стороне первого основания и соответствующей стороне второго.

Ответ: основания ABC и A₁B₁C₁; боковые грани ABB₁A₁, BCC₁B₁, CAA₁C₁; боковые рёбра AA₁, BB₁, CC₁. Если буквы на чертеже другие, принцип остаётся тем же: сначала находят соответствующие вершины, а затем перечисляют соединяющие их отрезки. Это помогает не принять ребро основания за боковое.

Задача 2. Сколько вершин, рёбер и граней имеет пятиугольная призма? Пятиугольное основание имеет n = 5 сторон, поэтому применяем формулы для n-угольной призмы. Отдельно полезно проверить, что рёбра состоят из двух наборов: рёбер оснований и боковых рёбер.

1. Вершин: 2n = 2 · 5 = 10, поскольку у призмы два одинаковых основания.
2. Рёбер: 3n = 3 · 5 = 15. Это 10 рёбер оснований и 5 боковых.
3. Граней: n + 2 = 5 + 2 = 7: пять боковых граней и два основания.

Ответ: 10 вершин, 15 рёбер и 7 граней. Проверка по составу элементов показывает, почему числа разные: к пяти боковым граням прибавляются два основания, а к рёбрам оснований добавляются ещё пять боковых рёбер. Не следует путать формулы 3n для рёбер и n + 2 для граней.

Задача 3. В призме высота равна 8 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите длину бокового ребра. Высота — перпендикулярная составляющая ребра, а не всё ребро целиком. В прямоугольном треугольнике, образованном боковым ребром и его проекцией на плоскость основания, высота лежит напротив угла 30°.

1. Обозначим длину бокового ребра через l, а высоту через h = 8 см.
2. Используем синус угла между ребром и плоскостью: sin 30° = h / l.
3. Так как sin 30° = ½, получаем ½ = 8 / l, откуда l = 16 см.

Ответ: 16 см. Полученное ребро длиннее высоты, что соответствует наклонному положению. Если бы ребро приняли за высоту, ответ составил бы 8 см, но это означало бы, что ребро перпендикулярно плоскости основания, вопреки условию о наклоне.

Типичные ошибки

Называть призму многогранником, у которого все грани — параллелограммы, неверно: два основания могут быть, например, треугольниками. Ошибка возникает, если заметить только форму боковых граней и забыть об особой роли оснований. Проверка простая: в определении нужно отдельно указать две равные многоугольные грани и остальные параллелограммы. Если основание не параллелограмм, призма всё равно остаётся призмой.

Считать боковые грани прямоугольниками у любой призмы тоже нельзя. Это справедливо для прямой призмы, а у наклонной боковые грани обычно являются наклонёнными параллелограммами. Такое обобщение часто появляется из-за привычных изображений прямоугольных коробок. Проверь, перпендикулярны ли боковые рёбра плоскостям оснований: только тогда можно утверждать, что боковые грани прямоугольные.

Боковое ребро не всегда равно высоте: они совпадают лишь у прямой призмы. Путаница возникает потому, что на рисунке высоту иногда проводят по боковому ребру, когда оно перпендикулярно основаниям. Чтобы проверить себя, найди именно перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Если ребро наклонено, его длина больше высоты.

Не путай число граней и число рёбер: у n-угольной призмы граней n + 2, а рёбер 3n. Ошибка возможна, если прибавить к числу боковых элементов два основания, не учитывая, что для рёбер оснований их два набора по n. Проверь подсчёт отдельно: грани — n боковых и 2 основания; рёбра — 2n рёбер оснований и n боковых. Тогда формулы не смешаются.

Связь с другими темами

Для изучения призмы понадобятся знания о многоугольниках: стороны основания определяют число боковых граней и рёбер. Также нужно понимать, что значит параллельность прямых и плоскостей, и уметь находить расстояние между параллельными плоскостями. Это расстояние задаёт высоту призмы.

Понятие призмы станет основой для изучения площади поверхности и объёма многогранников. Чтобы решать такие задачи, важно различать основания и боковые грани, а также знать высоту. Формулы подсчёта элементов призмы подготавливают к общей формуле Эйлера для многогранников, связывающей число вершин, рёбер и граней.

Что запомнить

• Призма — многогранник с двумя равными многоугольными основаниями в параллельных плоскостях.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• У n-угольной призмы 2n вершин, 3n рёбер и n + 2 грани.
• Высота призмы равна расстоянию между плоскостями оснований.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
• Боковое ребро прямой призмы равно её высоте.