28.* Геометрическое тело

Определения и обозначения

Геометрическое тело — часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. Оно состоит из точек внутри этой поверхности и точек самой границы. Поэтому тело описывает не только оболочку фигуры, но и занимаемую ею часть пространства. Это понятие нужно, чтобы изучать пространственные фигуры как целые объекты.

Поверхность тела — граница, отделяющая тело от остальной части пространства. Точки поверхности входят в состав тела, хотя они не лежат во внутренней области. Например, поверхность куба образуют все его грани вместе с их общими рёбрами и вершинами. Такое различение помогает не путать тело с его оболочкой.

Внутренняя область тела — множество точек, лежащих внутри ограничивающей поверхности, а не на ней. Точка внутренней области не принадлежит границе, но принадлежит самому телу. Вместе внутренняя область и поверхность составляют тело. Это разделение позволяет точно определить, где заканчивается внутренняя часть и начинается граница.

Выпуклое тело — тело, в котором отрезок, соединяющий любые две его точки, целиком лежит в этом теле. Проверяют не отдельную форму поверхности, а положение всех таких отрезков. Определение нужно, чтобы отличать тела без выемок от тел, у которых есть части, уходящие внутрь. Если найдётся хотя бы один отрезок, частично проходящий вне тела, оно невыпуклое.

Как это устроено

Геометрическое тело и его поверхность — разные объекты: поверхность задаёт границу, а тело занимает пространство по одну сторону от неё. Если оставить только поверхность, внутренние точки пропадут, и получится лишь оболочка. Например, поверхность мяча можно представить тонкой оболочкой, а сам мяч как тело включает и точки внутри неё. Поэтому при описании тела нельзя ограничиваться его очертанием.

Поверхность называют замкнутой, когда она полностью отделяет внутреннюю область от внешней части пространства. Если граница имеет разрыв, через него можно перейти изнутри наружу, не пересекая поверхность. Тогда она не ограничивает целиком некоторую часть пространства. Замкнутость нужна, чтобы у тела были определённые внутренность и внешняя область.

Тело включает и внутренние, и граничные точки, потому что граница является частью самого объекта, а не отдельной от него оболочкой. Удобно мысленно представить тело как внутреннюю область вместе с поверхностью. Тогда точка на грани куба принадлежит кубу, хотя она не является внутренней. Это соглашение важно при проверке, лежит ли отрезок целиком в теле: его концы и точки границы тоже учитываются.

Критерий выпуклости относится к любой паре точек тела. Если из одной точки провести отрезок к другой, он не должен выходить за границу ни на каком участке. У тела с выемкой можно выбрать точки по разные стороны углубления так, что соединяющий их отрезок пройдёт снаружи. Такой пример сразу показывает, почему наличие заметного углубления может нарушать выпуклость.

Привычные фигуры помогают различать тело и поверхность. У шара границей служит сфера, а внутри неё расположены внутренние точки шара; у куба граница образована всеми его гранями. В обоих случаях поверхность замкнута и полностью окружает внутреннюю область. Поэтому название границы не следует принимать за название всего тела.

Геометрическое тело и связанные с ним понятия

Сначала определите, о чём идёт речь: о всём теле, его границе или внутренней области. Затем примените соответствующий признак из последнего столбца. Для выпуклости проверяйте условие именно для любых двух точек, а не только для пары, которую легче рассмотреть.

Разбор задач

Задача 1. У шара радиуса 3 определить, что является телом, а что — его границей. Здесь важно разделить область, занимающую пространство, и поверхность, которая её ограничивает. Радиус задаёт расстояние от центра до точек границы, но сам по себе не превращает границу в тело. Рассуждаем по определениям.

1. Шар — все точки пространства, находящиеся от центра на расстоянии не больше 3.
2. Его тело включает точки на расстоянии меньше 3 и точки на расстоянии ровно 3.
3. Поверхность образуют точки на расстоянии ровно 3 от центра; это сфера.

Ответ: тело — шар, его граница — сфера радиуса 3. Внутренние точки шара находятся от центра на расстоянии меньше 3.

Задача 2. Для куба назвать его поверхность и указать, какие точки принадлежат телу, но не являются внутренними. Сначала отделим границу от пространства внутри неё. У куба поверхность не одна грань, а все грани, вместе образующие замкнутую оболочку. Граничные точки нужно включить в тело, хотя к внутренней области они не относятся.

1. Назовём поверхностью куба совокупность всех его граней.
2. К внутренней области отнесём точки, расположенные внутри этой поверхности.
3. Точки граней, рёбер и вершин принадлежат кубу, но не являются внутренними.

Ответ: поверхность куба — все его грани; принадлежат телу, но не внутренней области, точки граней, рёбер и вершин.

Задача 3. Определить, выпукло ли тело с глубокой выемкой, если отрезок между двумя его точками частично проходит вне тела. Для выпуклости надо проверить универсальное условие: оно относится к каждой паре точек тела. В условии уже дана пара, для которой соединяющий отрезок выходит наружу. Значит, требование определения нарушено.

1. Выбираем две указанные точки, принадлежащие телу.
2. Рассматриваем отрезок между ними и отмечаем участок вне тела.
3. Сопоставляем результат с определением выпуклости: весь отрезок должен принадлежать телу.

Ответ: тело невыпуклое, поскольку найден отрезок между его точками, часть которого проходит вне тела.

Типичные ошибки

Считать телом только внутреннюю область — значит исключить точки границы. Так ошибаются, когда представляют тело как заполненную часть, а поверхность — как отдельную оболочку. Проверьте себя: точки граней куба принадлежат кубу, значит, определение тела включает и их.

Называть шар и сферу одним и тем же — значит смешивать тело с его поверхностью. Это происходит, потому что в обычной речи слова иногда используют неточно. Спросите себя, включены ли внутренние точки: если да, речь о шаре, если описана только граница — о сфере.

Считать любую замкнутую поверхность телом неверно: поверхность лишь ограничивает часть пространства. Путаница возникает из-за того, что граница хорошо заметна и напоминает весь объект. Проверьте, назвали ли вы точки внутри; если нет, описана только поверхность, а не тело.

Проверять выпуклость лишь на нескольких выбранных отрезках недостаточно. Такие отрезки могут случайно не пересечь выемку, хотя другая пара точек покажет выход за границу. Самопроверка проста: определение требует, чтобы условие выполнялось для любых двух точек тела; одного контрпримера достаточно, чтобы опровергнуть выпуклость.

Связь с другими темами

Для работы с телами нужны понятия точки, отрезка, плоскости и пространства: без них нельзя описать положение границы и проверять выпуклость. Полезно также различать плоскую фигуру и её границу, поскольку тот же принцип перенесён на пространственные объекты. Понятие геометрического тела понадобится при изучении многогранников и тел вращения. Их поверхности и объёмы описывают разные свойства одного и того же тела.

Что запомнить

• Геометрическое тело занимает часть пространства.
• Поверхность тела является его границей.
• Тело включает внутренние точки и точки границы.
• Шар — тело, сфера — его поверхность.
• Тело выпукло, если отрезок между любыми двумя его точками целиком ему принадлежит.