"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Призма — многогранник с двумя равными многоугольными основаниями, лежащими в параллельных плоскостях. Соответствующие вершины оснований соединены боковыми рёбрами, а боковые грани являются параллелограммами. Призмы различают по форме основания и положению боковых рёбер: например, прямая призма имеет рёбра, перпендикулярные основаниям. Чтобы решать задачи, нужно уметь находить высоту, считать грани, рёбра и вершины, а также применять формулу площади боковой поверхности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Призма — многогранник, у которого две грани являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы. Эти два многоугольника называют основаниями, а параллелограммы — боковыми гранями. Такое определение помогает отличить призму от других многогранников и увидеть, какие её части нужно учитывать при решении задач.
Основания призмы — два равных многоугольника, расположенных в параллельных плоскостях. Равенство означает, что основания совпадают по форме и размеру, если одно из них перенести на другое. Именно по основанию называют призму: например, если основание — пятиугольник, призма пятиугольная.
Боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований, а боковые рёбра — соответствующие вершины. Отрезок между вершинами призмы, которые не принадлежат одной грани, называют диагональю призмы. Различение граней, рёбер и диагоналей нужно, чтобы правильно считать элементы фигуры и не путать диагональ всего многогранника с диагональю его грани.
Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований. У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям; у правильной призмы дополнительно основание является правильным многоугольником. Эти понятия позволяют определить, когда боковое ребро можно использовать как высоту и когда применима формула боковой площади через периметр основания.
Призму можно получить параллельным переносом многоугольника: каждую его точку перемещают на одинаковое расстояние в одном направлении. Вершины исходного многоугольника переходят в соответствующие вершины второго основания, а отрезки между ними становятся боковыми рёбрами. Перенос сохраняет расстояния и углы, поэтому основания имеют одинаковую форму и размер. Поскольку все точки перемещаются в одном направлении, плоскости оснований оказываются параллельными.
Боковая грань соединяет одну сторону первого основания с соответствующей стороной второго. Перенос переводит каждую вершину стороны в вершину параллельной и равной ей стороны, поэтому противоположные стороны полученного четырёхугольника параллельны и равны. Такой четырёхугольник является параллелограммом. Это объясняет форму боковых граней не только по определению, но и через способ построения призмы.
Число сторон основания задаёт название призмы и число её боковых граней: каждой стороне основания соответствует одна боковая грань. Если основание имеет n сторон, у призмы n боковых рёбер, соединяющих соответствующие вершины, и всего 3n рёбер: по n в каждом основании и ещё n боковых. В каждом из двух оснований по n вершин, поэтому всего их 2n. Подсчёт помогает проверять, не пропущены ли элементы на чертеже.
Высота определяется не наклоном бокового ребра, а кратчайшим расстоянием между плоскостями оснований, то есть длиной перпендикуляра между ними. В прямой призме каждое боковое ребро само перпендикулярно основаниям, поэтому его длина равна высоте. В наклонной призме ребро идёт под углом к перпендикуляру, и его длина больше высоты. Поэтому для наклонной призмы нельзя подменять высоту длиной ребра.
У прямой призмы каждая боковая грань — прямоугольник: её боковые стороны перпендикулярны основаниям. Если разрезать поверхность по боковым рёбрам и развернуть, прямоугольники расположатся рядом, а их общая высота будет равна высоте призмы. Сумма ширин этих прямоугольников равна периметру основания, поскольку ширины — стороны основания. Поэтому площадь боковой поверхности равна Sбок = Pосн · h.
| Признак | Любая призма | Прямая призма | Правильная призма |
|---|---|---|---|
| Форма оснований | Равные многоугольники | Равные многоугольники | Равные правильные многоугольники |
| Взаимное положение оснований | Параллельны | Параллельны | Параллельны |
| Форма боковых граней | Параллелограммы | Прямоугольники | Прямоугольники |
| Положение боковых рёбер относительно оснований | Не обязательно перпендикулярны | Перпендикулярны | Перпендикулярны |
| Связь высоты и бокового ребра | Высота — расстояние между основаниями | Высота равна боковому ребру | Высота равна боковому ребру |
| Форма многоугольника в основании | Любой многоугольник | Любой многоугольник | Правильный многоугольник |
Сначала определите, какой столбец подходит фигуре: для этого проверьте перпендикулярность рёбер к основаниям и форму основания. Затем по строке найдите нужное свойство, например форму боковых граней или связь высоты с ребром. Правильная призма — частный случай прямой, поэтому в её столбце сохраняются все свойства прямой призмы.
Задача 1. Основание призмы — пятиугольник. Определите число боковых граней, вершин и рёбер призмы. Свяжем каждый элемент призмы с пятиугольными основаниями: сторонам соответствуют грани и рёбра, а вершины есть в обоих основаниях. Если в основании n сторон, то число боковых граней равно n, вершин — 2n, а всех рёбер — 3n.
Ответ: 5 боковых граней, 10 вершин и 15 рёбер. При подсчёте рёбер важно учитывать оба основания, а не только боковые рёбра. Проверка по формулам 2n и 3n даёт тот же результат.
Задача 2. В прямой призме сторона основания равна 4 см, периметр основания — 18 см, высота — 7 см. Найдите площадь боковой поверхности. Для прямой призмы площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту. Длина одной стороны здесь не нужна для вычисления: периметр уже учитывает все стороны основания.
Ответ: 126 см². Единицы площади получаются из умножения сантиметров на сантиметры. Значение стороны основания 4 см может пригодиться для других вопросов, но в этой задаче периметра достаточно.
Задача 3. В прямой треугольной призме основание — прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см, высота призмы равна 6 см. Найдите площадь полной поверхности. Полная поверхность включает боковую поверхность и два основания, поэтому сначала найдём площадь и периметр треугольника. Чтобы вычислить периметр, потребуется длина гипотенузы.
Ответ: 84 см². В решении использовано, что призма прямая, поэтому её высота подходит в формулу боковой площади. При вычислении полной площади основание прибавляют дважды: у призмы два равных основания.
Ошибка — считать, что боковые рёбра любой призмы перпендикулярны основаниям. Так бывает только у прямой призмы; в наклонной рёбра расположены под углом. Ошибку допускают, перенося свойства прямой призмы на все призмы. Проверьте себя: если условие не говорит, что призма прямая, не делайте вывод о перпендикулярности рёбер.
Ошибка — приравнивать высоту наклонной призмы длине бокового ребра. Высота является перпендикулярным расстоянием между плоскостями оснований, тогда как ребро может быть наклонным отрезком. Их путают, потому что в прямой призме длины совпадают. На чертеже проведите перпендикуляр между основаниями: если он не совпадает с боковым ребром, брать длину ребра за высоту нельзя.
Ошибка — называть диагональю призмы отрезок, который лежит в одной её грани. Такой отрезок является диагональю грани, а диагональ призмы соединяет вершины, не принадлежащие одной грани. Путаница возникает из-за того, что оба отрезка соединяют несоседние вершины. Проверьте, можно ли целиком поместить отрезок в одну грань: если да, это не диагональ призмы.
Ошибка — подставлять площадь основания вместо его периметра в формулу боковой поверхности. Для прямой призмы используется Sбок = Pосн · h, а не произведение площади основания на высоту. Эти величины смешивают, потому что обе относятся к основанию. Перед вычислением проверьте единицы: периметр в сантиметрах после умножения на высоту в сантиметрах даёт площадь в см².
Для изучения призмы нужны понятия многогранника и многоугольника, а также представление о параллельных плоскостях. Расстояние между параллельными плоскостями определяет высоту призмы. Без этих понятий трудно распознать основания и понять, какие отрезки измеряют высоту.
Форма боковых граней объясняется свойствами параллелограмма, а у прямой призмы — прямоугольника. Эти свойства помогают обосновать формулу боковой площади и находить площади отдельных граней. Поэтому полезно уметь вычислять периметры и площади многоугольников.
Призма понадобится при изучении площади поверхности и объёма многогранников, а также сечений пространственных тел. Навыки определения её граней, рёбер и высоты помогают анализировать более сложные фигуры. Формулы площади поверхности становятся основой для последующих вычислений.
Чем призма отличается от пирамиды?
У призмы два равных основания, расположенных в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы. У пирамиды одно основание, а её боковые грани — треугольники с общей вершиной.
Почему боковые грани призмы являются параллелограммами?
В призме все боковые рёбра параллельны и равны, поскольку они соединяют вершины при параллельном переносе основания. Каждая боковая грань имеет одну пару противоположных сторон — соответствующие стороны оснований; они параллельны и равны. Поэтому такая четырёхугольная грань является параллелограммом.
Как определить высоту наклонной призмы?
Высота — это перпендикулярное расстояние между плоскостями оснований. Его находят по перпендикуляру, опущенному из точки одной плоскости на другую, а не по длине наклонного бокового ребра.
Когда призму называют правильной?
Правильная призма — это прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник. Значит, её боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а все стороны и углы основания равны.
Как найти площадь боковой поверхности прямой призмы?
Нужно умножить периметр основания на высоту: Sбок = Pосн · h. Формула получается потому, что боковые грани прямой призмы можно развернуть в прямоугольники с общей высотой h, а сумма их ширин равна периметру основания.
30. Призма
