114. Призма

Определения и обозначения

Призма — многогранник, у которого две грани являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммами. Такое определение помогает увидеть строение фигуры: два многоугольника образуют её «верх» и «низ», а боковые части соединяют их.

Основания призмы — равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях. Равенство означает, что они имеют одинаковую форму и размеры, поэтому одно основание можно совместить с другим параллельным переносом.

Боковые грани призмы — параллелограммы, соединяющие соответствующие стороны оснований. Они образуют боковую поверхность тела и показывают, как одна сторона нижнего основания переходит в такую же сторону верхнего.

Боковые рёбра призмы — отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований. По ним легко установить соответствие между вершинами и правильно назвать грани, рёбра и саму призму.

Как это устроено

Представим два равных многоугольника, расположенных в разных параллельных плоскостях. Соединим каждую вершину одного многоугольника с соответствующей вершиной другого отрезком. Полученное замкнутое многогранное тело и есть призма: многоугольники становятся основаниями, а соединяющие отрезки — боковыми рёбрами.

Рассмотрим сторону одного основания и соответствующую ей сторону другого. Эти стороны лежат в параллельных плоскостях и направлены одинаково, поэтому они находятся на параллельных прямых. Два боковых ребра также параллельны, поскольку соединяют соответствующие вершины одинаковым переносом. Значит, каждая боковая грань имеет две пары параллельных противоположных сторон и является параллелограммом.

Призму обычно называют по вершинам одного основания, перечисляя их по порядку, а затем — соответствующие вершины второго основания. Например, ABCDEF A₁B₁C₁D₁E₁F₁ имеет основания ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁. Вершине A соответствует A₁, стороне AB — сторона A₁B₁, а ребру AA₁ — ребро, соединяющее эту пару вершин.

Если в основании n сторон, то в каждом основании n вершин, поэтому всего их 2n. Боковых рёбер столько же, сколько вершин в одном основании, то есть n; вместе с 2n рёбрами оснований получаем 3n рёбер. Боковых граней также n, а вместе с двумя основаниями число граней равно n + 2.

Призма называется прямой, если её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В этом случае боковые грани — прямоугольники, а длина бокового ребра совпадает с высотой призмы. Если боковые рёбра наклонены к основаниям, призма называется наклонной; её высота равна не ребру, а перпендикулярному расстоянию между плоскостями оснований.

Элементы и свойства призмы

Сначала определите число сторон основания и обозначьте его буквой n. Затем подставьте n в нужную строку: это позволяет быстро проверить подсчёт элементов.

Последние две строки помогают различать общую призму и её частный вид — прямую призму.

Разбор задач

Задача 1. Число элементов призмы

Условие: у призмы в основании пятиугольник. Определите число её вершин, рёбер и граней.

1. У пятиугольника пять сторон, значит, n = 5.
2. Каждая из двух копий основания имеет пять вершин, поэтому число вершин равно 2n = 2 · 5 = 10.
3. Рёбра состоят из пяти рёбер первого основания, пяти рёбер второго основания и пяти боковых рёбер: 3n = 15.
4. Граней две основания и пять боковых граней, поэтому n + 2 = 7.

Ответ: 10 вершин, 15 рёбер и 7 граней.

Задача 2. Названия элементов по обозначениям

Условие: дана призма ABCDEF A₁B₁C₁D₁E₁F₁. Назовите её основания, боковые рёбра и боковые грани.

1. Одинаковый порядок букв показывает соответствующие вершины: A и A₁, B и B₁ и так далее.
2. Основаниями являются шестиугольники ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁.
3. Соединяем соответствующие вершины и получаем боковые рёбра AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, EE₁, FF₁.
4. Каждая боковая грань построена на стороне одного основания и соответствующей стороне другого: ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DEE₁D₁, EFF₁E₁, FAA₁F₁.

Ответ: основания ABCDEF и A₁B₁C₁D₁E₁F₁; боковые рёбра AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, EE₁, FF₁; боковые грани перечислены в решении.

Задача 3. Площадь полной поверхности прямой призмы

Условие: в прямой призме основание — треугольник со сторонами 5, 5 и 6, а высота призмы равна 4. Найдите площадь полной поверхности.

1. Опустим высоту треугольника на сторону 6. Она делит её пополам, поэтому hтр = √(5² − 3²) = 4.
2. Площадь основания равна ½ · 6 · 4 = 12, а периметр основания P = 5 + 5 + 6 = 16.
3. Для прямой призмы площадь боковой поверхности равна P · h = 16 · 4 = 64.
4. Полная площадь равна 2Sосн + Sбок = 2 · 12 + 64 = 88.

Ответ: 88 квадратных единиц.

Типичные ошибки

Некоторые считают, что основания призмы обязательно должны быть правильными многоугольниками. Это происходит из-за привычных моделей куба или правильной призмы. Проверьте только равенство оснований и параллельность их плоскостей.

Боковые грани прямой призмы иногда называют просто параллелограммами. Такое утверждение формально верно, но оно не использует дополнительное свойство прямой призмы: её боковые грани являются прямоугольниками. Если рёбра перпендикулярны основаниям, выбирайте слово «прямоугольники».

Высоту призмы путают с боковым ребром, особенно при работе с наклонной моделью. Высота — кратчайшее расстояние между плоскостями оснований, а ребро может быть наклонено. Совпадение этих величин можно утверждать только для прямой призмы.

При подсчёте элементов забывают одно из двух оснований или боковые рёбра. Для проверки используйте формулы: при основании n-угольник число вершин равно 2n, рёбер — 3n, граней — n + 2. Можно также отдельно сложить элементы оснований и боковой части.

Связь с другими темами

Для понимания призмы нужны свойства параллельных прямых и плоскостей: именно они объясняют расположение оснований и боковых рёбер. Также пригодятся признаки и свойства параллелограмма, потому что каждая боковая грань призмы имеет такую форму.

Понятие призмы используется при вычислении площадей поверхностей и объёмов многогранников. Сначала находят характеристики основания, а затем учитывают высоту, периметр или площадь боковой поверхности.

Что запомнить

• Основания призмы — равные многоугольники в параллельных плоскостях.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• У призмы с n-угольным основанием 2n вершин.
• У призмы с n-угольным основанием 3n рёбер и n + 2 грани.
• Высота призмы — расстояние между плоскостями оснований.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям.