1.4. Призма

Определения и обозначения

Призма — многогранник, две грани которого являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы. Представляйте её как фигуру с двумя одинаковыми концами и соединяющей их боковой частью. Это определение помогает отличать призму от других многогранников.

Основания призмы — равные многоугольники в параллельных плоскостях; их соответствующие вершины соединены боковыми рёбрами. Например, если вершины одного основания обозначены A, B, C, а второго — A₁, B₁, C₁, то боковые рёбра — AA₁, BB₁, CC₁. По основаниям определяют вид призмы: треугольная, четырёхугольная и так далее.

Боковая грань призмы — параллелограмм, образованный боковым ребром и соответствующими сторонами оснований. Все боковые грани вместе называются боковой поверхностью. Это разделение удобно, когда нужно отдельно рассчитать площади оснований и боковой поверхности.

Прямая призма — призма, боковые рёбра которой перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому её боковые грани являются прямоугольниками. Это свойство позволяет использовать для вычисления боковой поверхности периметр основания и высоту призмы.

Как это устроено

Чтобы представить построение призмы, возьмите многоугольник и перенесите каждую его вершину на один и тот же вектор. Вектор задаёт направление и длину перемещения, поэтому все вершины смещаются согласованно. Соедините каждую исходную вершину с её образом: получатся боковые рёбра. Соответствующие стороны многоугольника и их образы образуют параллелограммы, потому что при переносе сохраняются длины и параллельность.

Основания призмы равны и параллельны не случайно: одно из них получается из другого параллельным переносом. Такой перенос не меняет форму и размеры фигуры, а её плоскость перемещает параллельно самой себе. Поэтому основания совпадают по форме и площади, а соответствующие стороны параллельны. Именно соответствие вершин позволяет правильно определить боковые рёбра и грани.

Если в основании призмы n-угольник, то в каждом из двух оснований n вершин, всего их 2n. У каждого основания n рёбер, а между соответствующими вершинами проходит ещё n боковых рёбер, поэтому всего 3n рёбер. Боковых граней столько же, сколько сторон у основания, то есть n; добавив два основания, получаем n + 2 грани. Например, для шестиугольной призмы это 12 вершин, 18 рёбер и 8 граней.

В прямой призме боковое ребро перпендикулярно основанию, поэтому оно задаёт кратчайшее расстояние между плоскостями оснований. Это расстояние и есть высота, следовательно, высота прямой призмы равна длине бокового ребра. У наклонной призмы боковое ребро идёт под углом к основанию, поэтому оно длиннее перпендикулярного расстояния между плоскостями. Высоту в таком случае находят как длину перпендикуляра между плоскостями, а не по боковому ребру.

Правильная призма — прямая призма, основанием которой служит правильный многоугольник, то есть многоугольник с равными сторонами и равными углами. От условия прямоты следуют прямоугольные боковые грани и равенство высоты боковому ребру. От правильности основания следует равенство его сторон; вместе с общей высотой это даёт равные боковые грани. Поэтому правильность призмы объединяет свойства и прямой призмы, и правильного многоугольника в основании.

Сравнение видов призмы

Сначала определите, к какому виду относится призма: у прямой проверьте перпендикулярность боковых рёбер основанию, а у правильной — ещё и форму основания. Затем используйте нужные свойства строки: например, при прямой призме можно заменить высоту длиной бокового ребра. Правильная призма удовлетворяет условиям сразу двух последних столбцов.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке дана призма ABCDE–A₁B₁C₁D₁E₁. Назовите основания, боковые грани, боковые рёбра и высоту, если призма прямая. Даже без чертежа названия можно восстановить по порядку соответствующих вершин. Сначала отделим две пятиугольные грани от боковых.

1. Основания — пятиугольники ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁. Они составлены из вершин без индексов и соответствующих вершин с индексами 1.
2. Боковые рёбра соединяют пары соответствующих вершин: AA₁, BB₁, CC₁, DD₁, EE₁. Каждое из них принадлежит двум соседним боковым граням.
3. Боковые грани: ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DEE₁D₁ и EAA₁E₁. Каждая образована одной стороной каждого основания и двумя боковыми рёбрами.
4. Так как призма прямая, высота равна длине любого бокового ребра. Например, AA₁ является отрезком высоты; перпендикулярность основаниям позволяет использовать любое из пяти рёбер.

Ответ: основания ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁; боковые грани и рёбра перечислены выше; высота равна AA₁ (а также BB₁, CC₁, DD₁ или EE₁).

Задача 2. Основание призмы — шестиугольник. Нужно найти число вершин, рёбер и граней. Здесь не требуется строить призму: достаточно подставить число сторон основания n = 6 в общие зависимости. Отдельно проверим, что число граней включает основания.

1. Число вершин равно 2n, потому что одинаковые вершины есть в двух основаниях: 2 · 6 = 12.
2. Число рёбер равно 3n: по шесть в каждом основании и ещё шесть боковых рёбер. Получаем 3 · 6 = 18.
3. Боковых граней шесть, а вместе с двумя основаниями всех граней 6 + 2 = 8. Это также следует из формулы n + 2.

Ответ: 12 вершин, 18 рёбер и 8 граней.

Задача 3. Основание прямой призмы — треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см, высота призмы — 6 см. Требуется найти площадь боковой поверхности. Поскольку призма прямая, каждая боковая грань — прямоугольник с одной стороной, равной стороне основания, и другой, равной высоте. Можно сложить площади этих трёх прямоугольников или умножить периметр основания на высоту.

1. Найдём периметр основания: P = 3 + 4 + 5 = 12 см. Он учитывает ширину всех боковых прямоугольников.
2. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра на высоту: Sбок = P · h. Подставляем значения: Sбок = 12 · 6 = 72 см².
3. Проверим результат сложением площадей граней: 3 · 6 + 4 · 6 + 5 · 6 = 18 + 24 + 30 = 72 см². Оба способа дают одинаковый ответ.

Ответ: 72 см².

Типичные ошибки

Считать любую призму прямой. Обычно так ошибаются, потому что на схематичном чертеже рёбра могут выглядеть перпендикулярными основанию. Проверяйте не вид рисунка, а условие: прямая призма имеет боковые рёбра, перпендикулярные плоскости основания. Если это не задано и не доказано, считать призму прямой нельзя.

Принимать боковое ребро наклонной призмы за высоту. Ребро соединяет соответствующие вершины, а высота измеряет расстояние между плоскостями оснований. В наклонной призме ребро идёт под углом, поэтому обычно оно длиннее высоты. Проведите перпендикуляр между плоскостями: его длина и будет высотой.

Называть основаниями любые две грани. Такое впечатление может возникнуть, если на рисунке грани похожи по форме. Но основания должны быть равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — боковыми. Для проверки сопоставьте форму и размеры граней и убедитесь, что выбранная пара действительно параллельна.

Путать число боковых граней с общим числом граней. Если в основании n сторон, то боковых граней n, однако к ним нужно прибавить два основания. Поэтому общее число равно n + 2, а не n. Проверьте подсчёт отдельно: посчитайте боковые грани, затем добавьте две грани-основания.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать призмы, нужно знать, что такое многогранник и многоугольник, а также понимать параллельность плоскостей и свойства параллелограмма. Эти понятия объясняют, почему боковые грани имеют такую форму и как устроено соответствие вершин. Позже высота призмы понадобится при вычислении площадей поверхностей и объёмов многогранников. Для прямой призмы связь высоты с боковым ребром упрощает такие расчёты.

Что запомнить

• Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• У n-угольной призмы n боковых граней.
• Число вершин призмы равно 2n, число рёбер — 3n, число граней — n + 2.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям и равны высоте.
• Правильная призма является прямой, а её основание — правильный многоугольник.