"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Прямоугольный параллелепипед — объёмная фигура, у которой все грани являются прямоугольниками. Три ребра, выходящие из одной вершины, задают его длину, ширину и высоту, а отрезок между противоположными вершинами называют пространственной диагональю. Пространственная теорема Пифагора связывает длину этой диагонали с тремя измерениями: квадрат диагонали равен сумме квадратов рёбер. Формула помогает находить диагональ или неизвестное измерение по остальным данным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный параллелепипед — это тело, все грани которого являются прямоугольниками. Из одной вершины выходят три ребра, и каждое из них перпендикулярно двум другим. Эти рёбра задают три направления в пространстве и помогают описывать размеры тела.
Измерениями прямоугольного параллелепипеда называют длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Обозначим их a, b и c. Эти величины нужны, чтобы выразить размеры тела численно и использовать их в формуле для диагонали.
Диагональю прямоугольного параллелепипеда называют отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани. Такая диагональ проходит внутри тела, поэтому её называют пространственной. Длину диагонали обозначают d.
Пространственная теорема Пифагора — соотношение между пространственной диагональю и тремя измерениями прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c². Оно позволяет найти диагональ, когда известны измерения, или восстановить одно измерение по диагонали и двум другим. В формуле используются квадраты длин, а не сами длины.
Сначала рассмотрим грань, стороны которой равны a и b. Она является прямоугольником, поэтому его диагональ образует прямоугольный треугольник с двумя сторонами грани. По теореме Пифагора квадрат диагонали грани равен a² + b², а сама диагональ равна √(a² + b²).
Теперь возьмём треугольник, у которого один катет — диагональ этой грани, а второй — третье ребро длины c. Эти отрезки перпендикулярны: ребро c выходит из вершины грани под прямым углом к её плоскости. Гипотенузой получившегося прямоугольного треугольника будет пространственная диагональ d, соединяющая противоположные вершины тела.
Применим теорему Пифагора к этому треугольнику: d² равно квадрату диагонали грани плюс c². Но квадрат диагонали грани уже выражен через a и b: это a² + b². Подставив его, получим d² = (a² + b²) + c², то есть d² = a² + b² + c². Чтобы найти именно длину диагонали, а не её квадрат, извлекаем корень: d = √(a² + b² + c²).
В формуле участвуют именно три измерения, потому что они задают три взаимно перпендикулярных направления прямоугольного параллелепипеда. Первые два позволяют найти диагональ одной грани, а третье учитывает переход от этой грани в глубину тела. Поэтому формула объединяет три перпендикулярных отрезка, но не складывает длины напрямую.
Формулу можно использовать и в обратную сторону. Если известны d, a и b, то из равенства d² = a² + b² + c² следует c² = d² − a² − b², а значит, c = √(d² − a² − b²). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным; если длины заданы корректно, оно будет положительным. Так же находят любое другое неизвестное измерение, переставляя буквы.
В таблице собраны основные случаи применения формулы. Сначала определите, что известно в задаче, и выберите соответствующую строку. Если ищете диагональ грани, используйте только два измерения этой грани; если неизвестно ребро, вычтите квадраты двух известных рёбер из квадрата пространственной диагонали.
| Что известно | Соотношение | Как найти диагональ или измерение |
|---|---|---|
| Три измерения a, b и c | d² = a² + b² + c² | d = √(a² + b² + c²) |
| Пространственная диагональ d | d² = a² + b² + c² | Найти неизвестное измерение, если известны два других |
| Диагональ грани со сторонами a и b | l² = a² + b² | l = √(a² + b²) |
| Одно неизвестное измерение при известных d и двух других измерениях | c² = d² − a² − b² | c = √(d² − a² − b²) |
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 12 см. Найдём пространственную диагональ. Здесь известны все три измерения, поэтому достаточно применить пространственную теорему Пифагора. Обозначим длину диагонали через d.
Ответ: пространственная диагональ равна 13 см. Проверка подтверждает вычисление: 13² = 169, и это совпадает с суммой квадратов рёбер. Единицы результата остаются сантиметрами, а не квадратными сантиметрами.
Пространственная диагональ равна 13 см, два измерения равны 3 см и 4 см. Требуется найти третье измерение. Неизвестное обозначим c, а известные значения подставим вместо d, a и b. Так как диагональ длиннее каждого ребра, используем разность квадратов.
Ответ: третье измерение равно 12 см. Для проверки подставим три измерения обратно: 3² + 4² + 12² = 169 = 13². Значит, найденное ребро согласуется с диагональю и двумя данными измерениями.
Комната имеет длину 6 м, ширину 4 м и высоту 3 м. Нужно найти отрезок от нижней вершины до противоположной верхней вершины. Комнату рассматриваем как прямоугольный параллелепипед, а искомый отрезок — как его пространственную диагональ. Измерения заданы в метрах, поэтому ответ также получим в метрах.
Ответ: длина отрезка равна √61 м, или приблизительно 7,81 м. Точное значение предпочтительно оставить с корнем, если не требуется округление. Полученный результат имеет единицы длины и больше каждого из трёх измерений, как и должна быть пространственная диагональ.
Путать пространственную диагональ с диагональю грани — значит подменять отрезок внутри тела диагональю прямоугольника на поверхности. Так происходит, если не проверить, какие именно вершины соединяет отрезок. Перед вычислениями мысленно определите, лежат ли обе вершины в одной грани: если да, это диагональ грани, и в формуле участвуют два измерения.
Складывать длины рёбер вместо их квадратов нельзя: теорема связывает квадраты длин, поэтому, например, 3, 4 и 12 нужно возвести в квадрат до сложения. Ошибку часто вызывает привычка напрямую складывать известные числа. Проверьте запись формулы до вычислений: справа должны стоять a², b² и c².
После нахождения d² нужно извлечь квадратный корень, если в задаче спрашивают длину диагонали. Ученик может остановиться на промежуточном результате, потому что он уже получен из равенства. Сверьте, что именно требуется: d² — квадрат длины, а ответом должна быть длина d, выраженная в исходных единицах.
При поиске неизвестного ребра недостаточно вычесть из d² квадрат только одного известного ребра. Нужно учесть оба известных измерения: c² = d² − a² − b². Пропуск второго слагаемого обычно возникает при переносе членов уравнения. Проверьте результат подстановкой всех трёх рёбер в исходную формулу.
Для вывода пространственной теоремы Пифагора нужна обычная теорема Пифагора: сначала с её помощью находят диагональ прямоугольной грани. Также важно помнить, что смежные рёбра прямоугольного параллелепипеда взаимно перпендикулярны, иначе построенный прямоугольный треугольник не получится. Позднее формула помогает вычислять расстояния внутри прямоугольных тел и решать задачи на координаты в пространстве: координатные изменения по трём осям соответствуют трём перпендикулярным направлениям.
Чем пространственная диагональ отличается от диагонали грани?
Диагональ грани лежит на поверхности параллелепипеда и соединяет противоположные вершины одного прямоугольника. Пространственная диагональ проходит внутри тела и соединяет вершины, не принадлежащие одной грани.
Почему в формуле пространственной теоремы Пифагора три слагаемых?
Три измерения параллелепипеда — это длины трёх попарно перпендикулярных рёбер из одной вершины. Два измерения сначала образуют квадрат диагонали грани, а третье добавляется при применении теоремы Пифагора в пространстве.
Можно ли применить эту теорему к любому параллелепипеду?
Формула d² = a² + b² + c² относится именно к прямоугольному параллелепипеду, у которого смежные рёбра перпендикулярны. Для произвольного параллелепипеда такой формулой пользоваться нельзя.
Как найти ребро, если известны диагональ и два других ребра?
Возведите в квадрат диагональ и оба известных ребра, а затем вычтите из квадрата диагонали сумму квадратов известных рёбер. Корень квадратный из полученной разности равен длине неизвестного ребра.
Как проверить, что найденная длина диагонали верна?
Возведите найденную диагональ в квадрат и сравните результат с суммой квадратов трёх измерений. Также проверьте единицы: если рёбра заданы в сантиметрах, диагональ должна быть выражена в сантиметрах.
1.5. Пространственная теорема Пифагора
