"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Пространственная теорема Пифагора связывает три измерения прямоугольного параллелепипеда с его диагональю, проходящей через внутреннее пространство тела. Чтобы найти эту диагональ, сначала применяют обычную теорему Пифагора к диагонали грани, а затем — к прямоугольному треугольнику в пространстве. Главное правило: квадрат пространственной диагонали равен сумме квадратов трёх попарно перпендикулярных измерений: d² = a² + b² + c².
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пространственная теорема Пифагора утверждает: в прямоугольном параллелепипеде квадрат пространственной диагонали равен сумме квадратов трёх его измерений. Если измерения равны a, b и c, а диагональ — d, то d² = a² + b² + c². Формула позволяет находить диагональ или одно из неизвестных измерений.
Пространственная диагональ — отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, которые не принадлежат одной грани. Она проходит через внутреннее пространство тела, а не по его поверхности. Именно эту длину обозначают обычно буквой d.
Измерения прямоугольного параллелепипеда — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Они попарно перпендикулярны, поэтому образуют три взаимно перпендикулярных направления. Обычно их обозначают a, b и c.
Диагональ грани соединяет противоположные вершины прямоугольной грани. Она лежит в одной плоскости и находится по обычной теореме Пифагора. Диагональ грани нужна как промежуточный отрезок при выводе пространственной формулы.
Сначала выберем грань со сторонами a и b. Её диагональ d₁ вместе с этими сторонами образует прямоугольный треугольник, потому что соседние стороны прямоугольника перпендикулярны. Поэтому по теореме Пифагора d₁² = a² + b².
Теперь рассмотрим треугольник, в котором один катет — диагональ грани d₁, а другой — ребро c, перпендикулярное этой грани. Прямой угол находится между ними именно потому, что ребро перпендикулярно любой прямой в грани, проходящей через точку их пересечения. Гипотенузой этого треугольника становится пространственная диагональ d.
Применяем теорему Пифагора второй раз: d² = d₁² + c². Двойное применение появляется не случайно: сначала мы «сворачиваем» две стороны одной грани в диагональ, а затем добавляем третье, перпендикулярное направление. Так плоская задача превращается в пространственную.
Подставим вместо d₁² выражение a² + b². Получим d² = a² + b² + c². Если требуется найти саму диагональ, берут арифметический квадратный корень: d = √(a² + b² + c²); если неизвестно измерение, его квадрат находят вычитанием из d² квадратов двух известных измерений.
Таблица показывает, какие отрезки становятся катетами и гипотенузой на каждом этапе рассуждения. Сначала ищут диагональ грани, затем используют её вместе с третьим измерением. Последняя строка даёт готовую формулу для всего параллелепипеда.
| Рассматриваемая фигура | Катеты прямоугольного треугольника | Гипотенуза | Формула |
|---|---|---|---|
| Прямоугольная грань со сторонами a и b | a и b | Диагональ грани d₁ | d₁² = a² + b² |
| Треугольник из диагонали грани, ребра c и пространственной диагонали | d₁ и c | Пространственная диагональ d | d² = d₁² + c² |
| Прямоугольный параллелепипед с измерениями a, b и c | a, b и c — попарно перпендикулярные направления | Пространственная диагональ d | d² = a² + b² + c² |
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 12 см. Найдём пространственную диагональ. Все три длины являются попарно перпендикулярными измерениями, поэтому подходит пространственная теорема Пифагора.
Ответ: 13 см.
Диагональ равна 13 см, два измерения равны 3 см и 4 см. Неизвестное измерение обозначим c. Сначала выразим его квадрат, потому что теорема связывает именно квадраты длин.
Ответ: 12 см.
Коробка имеет размеры 6 см, 8 см и 24 см. Стержень, концы которого находятся в противоположных вершинах, может поместиться только при длине не больше пространственной диагонали коробки. Поэтому сначала вычислим максимальную длину такого отрезка.
Ответ: да, стержень поместится; его длина равна пространственной диагонали.
Некоторые складывают измерения: a + b + c. Так делают, представляя путь по трём рёбрам, но пространственная диагональ — это не такой ломаный путь. Нужно сложить квадраты, а затем извлечь корень; полезная проверка — результат должен быть больше каждого измерения, но меньше их суммы.
Диагональ грани иногда принимают за пространственную диагональ. Первая лежит на одной грани и зависит только от двух сторон, а вторая учитывает третье измерение. Проверьте, соединяет ли отрезок вершины одной грани или проходит через внутреннее пространство тела.
Формулу d² = a² + b² + c² применяют к любым трём рёбрам, хотя она требует попарной перпендикулярности. В наклонном параллелепипеде эти направления не образуют нужных прямоугольных треугольников. Перед вычислением убедитесь, что тело прямоугольное.
При поиске неизвестного измерения забывают извлечь корень или записывают отрицательную длину. Сначала находят квадрат неизвестного, затем берут только арифметический квадратный корень. Если подкоренное выражение отрицательно, исходные данные несовместимы.
Для этой темы необходимо знать обычную теорему Пифагора и уметь определять катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника. В пространственном случае та же идея применяется дважды: сначала на грани, затем в треугольнике, включающем третье измерение.
Формула пространственной диагонали используется в задачах на расстояние между точками в пространстве. Она также помогает вычислять размеры коробок, помещений и других прямоугольных тел, когда известны диагональ и часть измерений.
Почему пространственную диагональ нельзя найти, сложив длины трёх рёбер?
Рёбра задают взаимно перпендикулярные направления, поэтому их длины не складываются напрямую. Теорема Пифагора связывает такие отрезки через сумму квадратов, после чего извлекают квадратный корень.
Чем пространственная диагональ отличается от диагонали грани?
Диагональ грани соединяет противоположные вершины одной прямоугольной грани и лежит на поверхности параллелепипеда. Пространственная диагональ соединяет вершины, не принадлежащие одной грани, и проходит внутри тела.
Почему в формуле пространственной теоремы Пифагора складываются именно квадраты?
Потому что формула получается последовательным применением обычной теоремы Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Можно ли найти неизвестное измерение, если известны пространственная диагональ и два других измерения?
Да. Нужно вычесть из d² квадраты двух известных измерений, а затем извлечь арифметический квадратный корень: c = √(d² − a² − b²).
Работает ли формула для наклонного параллелепипеда, у которого рёбра не перпендикулярны?
Нет, формула d² = a² + b² + c² предназначена для прямоугольного параллелепипеда. Если рёбра не перпендикулярны, нужно учитывать углы между ними и применять другие зависимости.
§ 13. Пространственная теорема Пифагора
