"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Пространственная теорема Пифагора связывает диагональ прямоугольного параллелепипеда с тремя его измерениями. Она показывает, как найти расстояние между противоположными вершинами коробки, если известны длина, ширина и высота. Формула d² = a² + b² + c² получается из двух последовательных применений обычной теоремы Пифагора. С её помощью также находят неизвестное ребро по диагонали и двум другим измерениям.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пространственная теорема Пифагора — это равенство, связывающее квадрат пространственной диагонали прямоугольного параллелепипеда с квадратами трёх его измерений: d² = a² + b² + c². Оно нужно, чтобы находить диагональ или одно неизвестное ребро по остальным данным. По смыслу это пространственный аналог обычной теоремы Пифагора.
Прямоугольный параллелепипед — тело, все грани которого являются прямоугольниками. Рёбра, выходящие из одной вершины, попарно перпендикулярны, то есть образуют прямые углы. Именно это свойство позволяет строить прямоугольные треугольники и применять теорему Пифагора.
Пространственная диагональ — отрезок, соединяющий две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани. Она проходит внутри тела и связывает противоположные вершины. Такая диагональ отличается от диагонали грани, которая лежит на поверхности параллелепипеда.
Измерения прямоугольного параллелепипеда — длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Обычно их обозначают буквами a, b и c, а пространственную диагональ — буквой d. Эти три числа задают длину, ширину и высоту тела.
Выберем пространственную диагональ прямоугольного параллелепипеда. Диагональ одной из его граней и ребро, перпендикулярное этой грани, образуют прямоугольный треугольник. Причина в том, что третье ребро перпендикулярно двум пересекающимся рёбрам грани, поэтому оно перпендикулярно всей плоскости грани.
В построенном треугольнике пространственная диагональ оказывается гипотенузой. Два катета — это диагональ выбранной грани и третье измерение параллелепипеда. Поэтому теорема Пифагора даёт равенство d² = l² + c², где l — диагональ грани.
Диагональ грани l лежит в прямоугольнике со сторонами a и b. Его диагональ также является гипотенузой прямоугольного треугольника, поэтому l² = a² + b². Так в расчёте появляются первые два измерения.
Подставим выражение для l² в формулу первого треугольника: d² = (a² + b²) + c². После раскрытия скобок получаем d² = a² + b² + c². Значит, пространственная теорема Пифагора является результатом двух последовательных применений обычной теоремы.
На практике удобно сначала вычислить диагональ грани, а затем использовать её вместе с третьим ребром. Если требуется найти саму пространственную диагональ, после сложения квадратов извлекают квадратный корень. Если неизвестно одно измерение, его квадрат получают вычитанием двух известных квадратов из d².
| Свойство | Теорема Пифагора на плоскости | Пространственная теорема Пифагора |
|---|---|---|
| Фигура | Прямоугольный треугольник | Прямоугольный параллелепипед |
Таблица помогает увидеть различие между двумя случаями: на плоскости работают с двумя катетами, а в пространстве учитывают три измерения тела. Пространственную формулу всё равно сводят к прямоугольным треугольникам. Поэтому знание обычной теоремы Пифагора является основой для нового результата.
Рёбра прямоугольного параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 12 см. Требуется найти его пространственную диагональ. Обозначим измерения через a = 3, b = 4 и c = 12.
Ответ: 13 см. Проверка показывает, что найденная длина больше каждого ребра, как и должно быть для диагонали.
Пространственная диагональ равна 13 см, два измерения равны 3 см и 4 см. Нужно найти третье измерение c. Известных данных достаточно, потому что в формуле остаётся только один неизвестный квадрат.
Ответ: 12 см. Полученное число положительно и вместе с двумя другими измерениями действительно даёт диагональ 13 см.
Коробка имеет размеры 6 см, 8 см и 24 см. Нужно найти расстояние между противоположными вершинами и проверить, поместится ли стержень длиной 26 см вдоль диагонали. Стержень поместится, если его длина не превышает длину диагонали.
Ответ: расстояние равно 26 см; стержень длиной 26 см поместится ровно по пространственной диагонали.
Складывают длины рёбер вместо квадратов. Ошибка возникает из-за попытки применить формулу как обычное сложение сторон. Нужно сначала возвести каждое измерение в квадрат, а затем сложить результаты; полезно отдельно проверить запись d² = a² + b² + c².
Забывают одно измерение. Так происходит, когда пространственную диагональ путают с диагональю прямоугольника. Если тело имеет три независимых измерения, в формуле должны присутствовать три квадрата.
При поиске ребра складывают квадраты известных величин. Неизвестный квадрат получают из разности: c² = d² − a² − b². Проверить себя можно обратной подстановкой найденного значения в исходную формулу.
Путают пространственную диагональ с диагональю грани. Диагональ грани соединяет вершины одного прямоугольника, а пространственная диагональ проходит внутри тела между вершинами, не лежащими на одной грани. Нужно определить, принадлежат ли концы отрезка одной грани.
Для изучения темы нужна обычная теорема Пифагора и навык применения её к прямоугольному треугольнику. Без этого трудно понять, откуда берутся два последовательных вычисления квадратов. Полезно также уверенно извлекать квадратный корень.
Тема связана со свойствами прямоугольного параллелепипеда. Нужно уметь распознавать его прямоугольные грани и знать, какие рёбра перпендикулярны. Это позволяет правильно построить треугольник для вывода формулы.
Формула пригодится при нахождении расстояний между точками в координатном пространстве. Она также используется в задачах на коробки, объёмные фигуры и длину отрезка внутри тела. В координатах эта идея приводит к формуле расстояния в пространстве.
Чем пространственная диагональ отличается от диагонали грани?
Диагональ грани соединяет противоположные вершины одного прямоугольника. Пространственная диагональ соединяет вершины параллелепипеда, которые не лежат на одной грани.
Почему в формуле участвуют три измерения?
Пространственная диагональ проходит сразу в трёх направлениях: длина, ширина и высота. Поэтому после двух применений теоремы Пифагора в формуле появляются квадраты трёх рёбер.
Как вывести пространственную теорему Пифагора из обычной?
Сначала по теореме Пифагора находят диагональ прямоугольной грани через два её ребра. Затем эту диагональ и третье ребро рассматривают как катеты нового прямоугольного треугольника.
Можно ли по пространственной диагонали найти неизвестное ребро?
Да. Из равенства d² = a² + b² + c² выражают неизвестное измерение: например, c = √(d² − a² − b²). Подкоренное выражение должно быть положительным или равным нулю.
Применима ли эта формула к параллелепипеду, у которого грани не являются прямоугольниками?
Нет, в таком виде формула применима именно к прямоугольному параллелепипеду. Если грани не прямоугольники, рёбра не образуют нужные прямоугольные треугольники, поэтому нужны другие методы.
31. Пространственная теорема Пифагора
