"Геометрия. Учебник 10-11 класс ", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б.
Пирамида — многогранник, состоящий из многоугольника-основания и точки вне его плоскости, соединённой с вершинами основания. Её боковые грани являются треугольниками, а высота перпендикулярна плоскости основания. Разберём элементы пирамиды, диагональные сечения, признаки правильной пирамиды, апофему и формулы площадей. Эти знания нужны для решения задач на поверхности и объёмы многогранников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пирамида — многогранник, который образуется из многоугольника и точки, не лежащей в плоскости этого многоугольника, если соединить точку с каждой вершиной многоугольника. Многоугольник называют основанием, а соединяющие отрезки образуют боковую поверхность. Такое определение помогает увидеть, из каких простых частей складывается объёмное тело.
Основание — исходный многоугольник пирамиды, а боковые грани — треугольники, имеющие одну общую вершину. Каждая сторона основания вместе с вершиной пирамиды образует одну боковую грань. Поэтому форма основания определяет, сколько граней будет у пирамиды.
Вершина пирамиды — общая вершина всех боковых граней, не принадлежащая плоскости основания. Боковые рёбра — отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания. По ним можно понять, как боковая поверхность соединена с основанием.
Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания. Точку, в которой этот перпендикуляр пересекает плоскость, называют основанием высоты. Высота может заканчиваться не в вершине многоугольника, поэтому её нельзя автоматически считать боковым ребром.
Пусть в основании лежит n-угольник. У него n сторон, и каждая сторона вместе с вершиной пирамиды образует отдельную боковую грань, поэтому боковых граней тоже n. У основания также n вершин, и к каждой из них проведено боковое ребро, значит, боковых рёбер n. Кроме того, у пирамиды есть одна вершина вне основания, поэтому всего вершин n + 1.
Диагональ основания соединяет две вершины многоугольника, не являющиеся концами одной стороны. Если через эту диагональ провести плоскость и включить в неё вершину пирамиды, получится диагональное сечение. Оно ограничено диагональю основания и двумя боковыми рёбрами, поэтому имеет форму треугольника.
Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника. Центр правильного многоугольника равноудалён от всех его вершин, поэтому вершина пирамиды оказывается расположенной симметрично относительно основания. Одного правильного основания недостаточно: если высота проходит не через центр, пирамида не будет правильной.
В правильной пирамиде все боковые рёбра равны, поскольку они являются наклонными отрезками из одной точки к равноудалённым от центра вершинам основания. Поэтому боковые грани имеют равные основания и равные боковые стороны, то есть являются равными равнобедренными треугольниками. Апофема — высота такой боковой грани, проведённая от вершины пирамиды к стороне основания.
Площадь полной поверхности складывается из площади основания и площадей всех боковых граней: Sпол = Sосн + Sбок. В правильной пирамиде боковые грани равны, а высоты каждой из них равны апофеме l. Поэтому сумма их площадей равна половине произведения периметра основания Pосн на апофему: Sбок = ½Pоснl.
| Элемент или свойство | Произвольная пирамида | Правильная пирамида |
|---|---|---|
| Форма основания | Любой многоугольник | Правильный многоугольник |
| Боковые грани | Треугольники, не обязательно равные | Равные равнобедренные треугольники |
| Положение высоты | Основание высоты может быть любой точкой плоскости основания | Высота проходит через центр основания |
| Апофема | Обычно не определяется как общий элемент | Высота боковой грани |
| Площадь боковой поверхности | Сумма площадей всех боковых граней | Sбок = ½Pоснl |
| Площадь полной поверхности | Sпол = Sосн + Sбок | Sпол = Sосн + ½Pоснl |
В таблице сначала найдите форму основания и положение высоты: именно эти признаки определяют, является ли пирамида правильной. Формулу через периметр и апофему применяйте только для правильной пирамиды. Для любой пирамиды площади боковых граней нужно складывать непосредственно.
Условие: у пирамиды основание — пятиугольник. Определим число боковых граней, боковых рёбер и вершин.
Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер, 6 вершин.
Условие: сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна 6 см, апофема — 5 см. Найдём площадь боковой поверхности.
Ответ: 60 см².
Условие: в правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, высота — 3 см. Найдём апофему и площадь полной поверхности.
Ответ: апофема √129/3 см; площадь полной поверхности 16√3 + 4√129 см².
Высоту принимают за боковое ребро. Боковое ребро соединяет вершины, а высота перпендикулярна всей плоскости основания. Проверьте, образует ли выбранный отрезок прямой угол именно с плоскостью основания.
Правильной считают любую пирамиду с правильным основанием. Одного свойства основания недостаточно: высота должна проходить через его центр. Для проверки найдите основание высоты и сравните его с центром многоугольника.
Апофему путают с боковым ребром. Апофема лежит в боковой грани и перпендикулярна стороне основания, а ребро идёт к вершине основания. Если конец отрезка находится в вершине многоугольника, это не апофема.
В полной поверхности учитывают только одну часть. Боковая поверхность не включает основание, поэтому её площади недостаточно. Всегда используйте Sпол = Sосн + Sбок и проверьте, добавлена ли площадь основания.
Для задач о пирамиде нужны знания о многоугольниках: их сторонах, периметрах, площадях и диагоналях. Также используются перпендикуляр и расстояние от точки до плоскости, поскольку именно так определяется высота.
Пирамида станет основой для изучения объёмов и площадей поверхностей многогранников. Диагональные сечения и прямоугольные треугольники внутри пирамиды помогают решать более сложные стереометрические задачи.
Чем пирамида отличается от призмы?
У призмы два равных и параллельных основания, а её боковые грани соединяют соответствующие стороны оснований. У пирамиды только одно основание, а все боковые грани сходятся в общей вершине.
Может ли высота пирамиды совпадать с боковым ребром?
Да, это возможно, если перпендикуляр из вершины пирамиды к плоскости основания попадает в вершину основания. В общем случае высота проходит к внутренней точке или, для некоторых пирамид, к точке вне многоугольника основания.
Какая пирамида называется правильной?
Правильной называют пирамиду, у которой основание является правильным многоугольником, а высота проходит через центр этого многоугольника. В такой пирамиде боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Чем апофема отличается от высоты пирамиды?
Высота пирамиды перпендикулярна всей плоскости основания и соединяет вершину пирамиды с основанием высоты. Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая от её вершины к стороне основания.
Как найти площадь полной поверхности пирамиды?
Нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности: Sпол = Sосн + Sбок. Для правильной пирамиды Sбок = ½Pоснl, где Pосн — периметр основания, а l — апофема.
§ 2. Пирамида
