2.1. Пирамида

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной, не лежащей в плоскости основания. Многогранник — тело, поверхность которого состоит из многоугольников. Такое определение помогает отличить пирамиду от призмы: у пирамиды боковые грани сходятся в одной точке.

Основание пирамиды — её многоугольная грань, остальные грани называют боковыми, а их общую вершину — вершиной пирамиды. Стороны боковых граней, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми рёбрами. Эти названия позволяют точно описывать части тела и составлять чертёж.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из её вершины на плоскость основания, и длина этого перпендикуляра. Перпендикулярность плоскости означает, что высота образует прямой угол с любой прямой этой плоскости, проходящей через её основание. По высоте находят расстояние от вершины до основания и решают задачи о рёбрах и площадях.

Правильная пирамида имеет правильный многоугольник в основании, а её высота проходит через центр основания. Апофема такой пирамиды — высота её боковой грани, проведённая к стороне основания. Эти определения нужны, чтобы пользоваться симметрией фигуры и сводить вычисления к прямоугольным треугольникам.

Как это устроено

Чтобы представить пирамиду, возьмём многоугольник и точку вне его плоскости. Соединим эту точку с каждой вершиной многоугольника: вместе с его сторонами получатся треугольники, а сам многоугольник останется основанием. Именно общая точка соединения задаёт вершину пирамиды, поэтому все боковые треугольники сходятся в ней. Если точка лежит в плоскости основания, объёмное тело таким способом не образуется.

У каждой стороны основания есть одна соответствующая ей боковая грань, а у каждой вершины основания — одно боковое ребро, ведущее к вершине пирамиды. Поэтому при основании с n сторонами будет n боковых граней и n боковых рёбер. Вершин основания тоже n, но к ним добавляется вершина пирамиды: всего вершин n + 1. По числу сторон основания, таким образом, можно заранее определить часть строения фигуры.

Высоту проводят не к одной из вершин основания, а к плоскости, в которой лежит весь многоугольник. Для этого из вершины пирамиды опускают перпендикуляр; его длина и есть расстояние от точки до плоскости. Перпендикуляр может попасть в область основания или за её границу — оба случая допустимы. Боковое ребро обычно наклонено к плоскости, поэтому заменить им высоту нельзя.

У правильного многоугольника все стороны и углы равны, а его центр одинаково расположен относительно вершин и сторон. Если высота правильной пирамиды проходит через этот центр, боковые вершины оказываются симметричны относительно оси пирамиды. Из-за этого боковые рёбра равны, а боковые грани имеют одинаковые размеры. Это свойство делает правильную пирамиду удобной для вычислений, но само по себе правильное основание ещё не гарантирует, что пирамида правильная.

Апофему проводят внутри боковой грани от вершины пирамиды к стороне основания перпендикулярно этой стороне. В правильной пирамиде отрезок от центра основания к середине стороны также перпендикулярен стороне. Вместе с высотой пирамиды этот отрезок образует прямоугольный треугольник: его катеты — высота и расстояние от центра до стороны, а гипотенуза — апофема. Поэтому для вычислений подходит теорема Пифагора: l² = h² + r².

Элементы пирамиды и их характеристики

Сначала найдите в условии основание и вершину пирамиды, затем определите, какой отрезок требуется: ребро, высота или апофема. Для правильной пирамиды используйте её симметрию и прямоугольные треугольники. Таблица помогает проверить, что названия элементов не перепутаны.

Разбор задач

Пирамида имеет треугольное основание ABC и вершину S. Основание перпендикуляра из S обозначено H. Нужно назвать боковые грани, боковые рёбра и высоту. Сначала отделим треугольник основания от треугольников, которые соединяют вершину S с его сторонами.

1. Основание — треугольник ABC, поэтому боковые грани строятся на сторонах AB, BC и CA.
2. Соединив каждую из этих сторон с вершиной S, получаем боковые грани SAB, SBC и SCA.
3. Рёбра, ведущие от S к вершинам основания, — SA, SB и SC. Поскольку H — основание перпендикуляра, высота равна отрезку SH.

Ответ: боковые грани SAB, SBC, SCA; боковые рёбра SA, SB, SC; высота SH. Проверка: у треугольного основания три стороны, поэтому у пирамиды три боковые грани и три боковых ребра. Само ребро SH в данном случае не является боковым, так как H не обозначает вершину основания.

В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 12, а расстояние от центра основания до его стороны — 5. Требуется найти апофему. Высота направлена к центру основания, а отрезок длиной 5 проведён от него к стороне. Значит, эти два отрезка перпендикулярны и вместе с апофемой образуют прямоугольный треугольник.

1. Обозначим апофему через l. По теореме Пифагора l² = 12² + 5².
2. Вычислим квадраты катетов: l² = 144 + 25 = 169.
3. Так как длина положительна, берём положительный корень: l = √169 = 13.

Ответ: апофема равна 13. Перед применением теоремы важно убедиться, что известные отрезки — именно катеты: здесь это высота пирамиды и расстояние от центра основания до стороны. Апофема является гипотенузой этого треугольника.

У правильной пирамиды с квадратом в основании сторона квадрата равна 10, боковое ребро — 13. Найдём высоту и апофему. Сначала используем треугольник, в котором боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной квадрата. Затем отдельно рассмотрим треугольник с апофемой.

1. Расстояние от центра квадрата до его вершины равно половине диагонали: диагональ 10√2, значит, отрезок равен 5√2.
2. Боковое ребро 13 — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами h и 5√2. Поэтому h² = 13² − (5√2)² = 169 − 50 = 119, то есть h = √119.
3. Расстояние от центра квадрата до стороны равно половине стороны: 5. Апофема l удовлетворяет равенству l² = h² + 5² = 119 + 25 = 144, поэтому l = 12.

Ответ: высота равна √119, апофема — 12. В первом треугольнике нужен отрезок до вершины квадрата, а во втором — до его стороны; это разные расстояния. Их нельзя подменять друг другом, даже если оба начинаются в центре основания.

Типичные ошибки

Ошибка: считать высотой боковое ребро. Ребро наклонено к плоскости основания, а высота обязана быть перпендикулярной ей; путают их потому, что оба отрезка начинаются в вершине пирамиды. Проверьте прямой угол именно между высотой и плоскостью основания: если его нет, это не высота.

Ошибка: называть апофемой боковое ребро. Боковое ребро идёт к вершине основания, а апофема лежит в боковой грани и является её высотой; смешать их легко из-за общего начала в вершине пирамиды. Для проверки найдите конец отрезка: апофема приходит к стороне основания перпендикулярно, а ребро — к вершине основания.

Ошибка: считать пирамиду правильной только из-за правильного основания. Для правильной пирамиды требуется ещё, чтобы высота проходила через центр основания; это условие иногда упускают, замечая только форму многоугольника. Проверьте положение основания высоты: если оно не совпадает с центром, пирамида не является правильной.

Ошибка: считать, что у пирамиды с n-угольным основанием всего n вершин. Число n относится только к вершинам основания, и легко забыть вершину, где сходятся боковые грани. Перечислите вершины основания, а затем отдельно добавьте вершину пирамиды: всего получится n + 1.

Связь с другими темами

Для изучения пирамиды нужны понятия многоугольника и многогранника, а также умение строить перпендикуляр к плоскости и понимать расстояние от точки до плоскости. Эти знания помогают правильно находить высоту, даже если её основание лежит вне многоугольника основания. Теорема Пифагора и свойства правильных многоугольников позволяют вычислять высоты, рёбра и апофемы. Позже эти элементы пригодятся при нахождении площадей поверхностей и объёмов многогранников.

Что запомнить

• Основание пирамиды — многоугольник, остальные грани — треугольники с общей вершиной.
• Число боковых граней пирамиды равно числу сторон её основания.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.
• Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани.
• Высоту, апофему и отрезок от центра основания до стороны часто связывает теорема Пифагора.