"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни)", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Пирамида — многогранник с многоугольным основанием и треугольными боковыми гранями, сходящимися в одной вершине. По числу сторон основания можно определить число боковых граней и рёбер, а по высоте и апофеме — вычислять площади. Различие между произвольной и правильной пирамидами помогает понять, когда можно использовать формулу боковой поверхности через периметр основания.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Пирамида — многогранник, у которого одна грань является многоугольником, а остальные грани — треугольники с общей вершиной вне плоскости основания. Многоугольник служит основанием, а общая вершина треугольников называется вершиной пирамиды. Такое устройство позволяет описывать фигуру через её основание и боковые части.
Основание пирамиды — многоугольная грань, от которой образованы боковые грани. Оно задаёт форму нижней части фигуры и число её боковых элементов. Обозначая основание, например, многоугольником ABCD, удобно называть его вершины и рёбра при решении задач.
Высота пирамиды — перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания, и его длина. Перпендикуляр может попадать внутрь основания или за его пределы, поэтому высота не обязательно лежит на боковом ребре. Она нужна для вычислений и отличается от наклонных отрезков, соединяющих вершину с вершинами основания.
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая из вершины к стороне основания. Она соединяет вершину пирамиды с серединой стороны основания и перпендикулярна этой стороне. Апофема помогает найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды.
Чтобы построить пирамиду, возьмём многоугольник и точку, не лежащую в его плоскости, затем соединим эту точку с каждой вершиной многоугольника. Рёбра, идущие от точки, образуют боковую часть фигуры, а сам многоугольник остаётся основанием. Точка должна быть вне плоскости основания, иначе все соединяющие отрезки окажутся в одной плоскости и пространственный многогранник не получится.
Каждая боковая грань получается из стороны основания и двух отрезков, соединяющих её концы с общей точкой. Три таких отрезка образуют треугольник, поэтому боковые грани пирамиды треугольные. Общая для них точка и называется вершиной пирамиды: именно к ней сходятся все боковые рёбра.
Если у основания n сторон, то к каждой стороне примыкает одна боковая грань, а к каждой вершине основания подходит одно боковое ребро. Поэтому боковых граней и боковых рёбер по n. Вместе с рёбрами основания их становится 2n, а вершин — n + 1: n в основании и одна общая вершина.
Правильная пирамида отличается тем, что её основание — правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. Это условие выравнивает положение вершины относительно основания: боковые рёбра и боковые грани правильной пирамиды равны. Поэтому площади всех боковых граней можно находить по общей апофеме, а не складывать разные значения по отдельности.
Полная поверхность состоит из основания и всех боковых граней, значит, её площадь равна сумме площади основания и площадей боковых граней. У правильной пирамиды каждая боковая грань имеет высоту, равную апофеме, а сумма оснований этих треугольников равна периметру основания. Поэтому Sбок = ½Pl, где P — периметр основания, l — апофема; для произвольной пирамиды площади граней обычно складывают отдельно.
Сначала определите, какая часть фигуры дана в условии: основание, боковая грань, ребро или высота. Затем выберите выражение из последнего столбца, подходящее к задаче. Формулу Sбок = ½Pl используйте только для правильной пирамиды.
| Элемент или характеристика | Что обозначает | Как найти или выразить |
|---|---|---|
| Основание | Многоугольная грань пирамиды | Площадь и периметр находят по свойствам этого многоугольника |
| Боковая грань | Треугольник, соединяющий сторону основания с вершиной пирамиды | Площадь треугольника: ½ah |
| Боковое ребро | Отрезок от вершины пирамиды к вершине основания | Одно на каждую вершину основания |
| Высота пирамиды | Перпендикуляр от вершины к плоскости основания | Расстояние от вершины до плоскости основания |
| Апофема правильной пирамиды | Высота боковой грани | В прямоугольном треугольнике может быть найдена по теореме Пифагора |
| Площадь полной поверхности | Сумма площадей основания и боковых граней | Sполн = Sосн + Sбок |
| Площадь боковой поверхности правильной пирамиды | Сумма площадей боковых граней | Sбок = ½Pl |
Условие. У пирамиды основание — пятиугольник. Определите число боковых граней, боковых рёбер и всех вершин. Здесь важно связать каждый угол и сторону основания с элементами боковой части. У пятиугольника пять сторон и пять вершин.
Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер и 6 вершин. Число сторон основания определяет первые два результата, а для подсчёта вершин нужно добавить общую вершину пирамиды. Эта связь работает для основания с любым числом сторон.
Условие. Сторона квадратного основания равна 6, апофема — 5. Найдите площадь боковой и полной поверхности. Поскольку пирамида правильная, боковую площадь можно вычислить по периметру и апофеме. Для полной площади отдельно потребуется площадь квадрата.
Ответ: площадь боковой поверхности равна 60, полной — 96. Сначала найдена площадь всех боковых треугольников вместе, затем к ней прибавлена площадь основания. Если остановиться на значении 60, это будет только часть поверхности.
Условие. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8, высота пирамиды — 3. Найдите апофему и площадь боковой поверхности. Проекция вершины пирамиды приходится на центр равностороннего основания, поэтому высота, апофема и радиус вписанной окружности образуют прямоугольный треугольник. Радиус основания нужно вычислить до применения теоремы Пифагора.
Ответ: апофема равна √129/3, площадь боковой поверхности — 4√129. В прямоугольном треугольнике катетами служат высота пирамиды и расстояние от центра основания до стороны. Найденную апофему затем подставляют в формулу боковой площади правильной пирамиды.
Считать высотой боковое ребро — ошибка, потому что высота обязана быть перпендикулярна плоскости основания. Её могут принять за ребро, если не различать перпендикуляр и наклонный отрезок. Проверьте себя: из вершины к основанию должна быть опущена именно перпендикулярная линия.
Называть апофемой любое боковое ребро тоже неверно: апофема — высота боковой грани правильной пирамиды. Боковое ребро соединяет вершину пирамиды с вершиной основания, а апофема приходит к стороне основания и перпендикулярна ей. Проверьте, куда направлен отрезок и есть ли прямой угол с этой стороной.
При нахождении полной площади иногда складывают только площади боковых граней и забывают основание. Такое происходит, когда слова «полная» и «боковая» воспринимаются как одно и то же. Для проверки запишите Sполн = Sосн + Sбок и убедитесь, что оба слагаемых посчитаны.
Формулу Sбок = ½Pl нельзя без проверки применять к любой пирамиде: у произвольной пирамиды боковые грани могут иметь разные высоты и площади. Формула через периметр и апофему опирается на правильность пирамиды и общую апофему её граней. Перед вычислением проверьте, что основание правильное и высота проходит через его центр; иначе сложите площади боковых граней отдельно.
Для работы с пирамидами понадобятся знания о сторонах, вершинах и площади многоугольников, а также формулы площади треугольника. Понятие перпендикуляра к плоскости помогает отличать высоту от боковых рёбер. При решении задач на правильные пирамиды используются свойства правильных многоугольников и прямоугольных треугольников.
Пирамида — один из многогранников, для которых изучают площади поверхностей и объёмы. Понимание её элементов помогает увидеть, из каких фигур складывается поверхность, и подготовиться к вычислению объёма. Апофема и высота пригодятся и в задачах, где нужно связать плоские фигуры с пространственными.
Чем пирамида отличается от призмы?
У пирамиды одно основание, а боковые грани — треугольники с общей вершиной. У призмы два равных и параллельных основания, а её боковые грани — параллелограммы.
Как по основанию определить число граней и рёбер пирамиды?
Если основание имеет n сторон, то у пирамиды n боковых граней и n боковых рёбер. Всего граней будет n + 1, а рёбер — 2n: n рёбер основания и n боковых.
Может ли высота пирамиды совпадать с боковым ребром?
Да, если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. В общем случае боковое ребро наклонено к основанию и не является высотой.
Что такое апофема и у каких пирамид она определяется?
Апофема правильной пирамиды — высота её боковой грани, проведённая от вершины к стороне основания. Её рассматривают у правильных пирамид, где боковые грани одинаковы.
Когда можно использовать формулу площади боковой поверхности через периметр основания и апофему?
Формула Sбок = ½Pl применима к правильной пирамиде: P — периметр основания, l — апофема. У произвольной пирамиды боковые грани могут иметь разные площади, поэтому их нужно складывать отдельно.
§ 2. Пирамида
