113. Пирамида

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, основанием которого служит многоугольник, а боковые грани являются треугольниками с общей вершиной. Иначе говоря, все треугольники по бокам сходятся в одной точке, расположенной над основанием или под ним. Такое определение помогает сразу узнать пирамиду среди других многогранников. Оно также показывает, какие фигуры нужно искать при подсчёте её граней.

Основание пирамиды — многоугольник, не содержащий общей вершины боковых граней. Это нижняя или верхняя грань, от формы которой зависит название пирамиды: например, основание-пятиугольник задаёт пятиугольную пирамиду. Чтобы не спутать основание с боковой гранью, проверьте, лежит ли фигура в одной плоскости и образует ли замкнутый многоугольник. По основанию удобно считать остальные элементы.

Вершина пирамиды — общая вершина всех её боковых граней, не лежащая в плоскости основания. Если обозначить её буквой S, а вершины основания — A, B, C и так далее, боковые грани можно называть SAB, SBC и другими. Это обозначение показывает, какие треугольники прилегают к сторонам основания. Вершина S не относится к самому многоугольнику основания.

Высота пирамиды — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, и его длина. Перпендикулярность означает, что высота образует прямой угол с любой прямой плоскости основания, проходящей через её основание. Если высота обозначена SO, точка O — основание перпендикуляра, а длина высоты равна SO. Понятие нужно, чтобы измерять расстояние от вершины до плоскости основания.

Как это устроено

Чтобы представить пирамиду, возьмите многоугольник и отметьте точку вне его плоскости. Соедините эту точку с каждой вершиной многоугольника отрезком: получатся боковые рёбра, а многоугольник вместе с соседними отрезками ограничит треугольные боковые грани. Именно общая точка соединения создаёт характерную для пирамиды вершину. Если многоугольник замкнут, такие треугольники вместе с основанием образуют замкнутую поверхность многогранника.

У каждой стороны основания есть два конца, то есть две соседние вершины. Сторона вместе с двумя отрезками от этих вершин к вершине пирамиды ограничивает один треугольник — боковую грань. Поэтому соответствие «сторона основания — грань» даёт столько же боковых граней, сколько сторон у основания. По той же причине от общей вершины к каждой вершине основания идёт одно боковое ребро, и число боковых рёбер тоже равно числу сторон.

Рёбра пирамиды делятся на два вида: рёбра основания лежат в плоскости многоугольника, а боковые соединяют его вершины с вершиной пирамиды. Если в основании n-угольник, у него n вершин и n рёбер; вершина пирамиды добавляет ещё одну вершину и n боковых рёбер. Поэтому всего вершин n + 1, а рёбер n + n = 2n. Грани — это само основание и n боковых треугольников, так что всего их n + 1.

Высота пирамиды не равна автоматически боковому ребру: ребро соединяет две вершины, а высота измеряет перпендикулярное расстояние от вершины до плоскости основания. Она может опускаться на основание в точку, не совпадающую ни с одной его вершиной. Высота боковой грани — другой отрезок: он лежит в плоскости этой треугольной грани и перпендикулярен её стороне. Различие определяется тем, к какой плоскости проводится перпендикуляр.

Правильной называют пирамиду с правильным многоугольником в основании, высота которой проходит через центр этого многоугольника. Центр правильного многоугольника равноудалён от его вершин, поэтому при общей высоте вершины основания дают равные боковые рёбра. В результате боковые треугольники равны между собой. У произвольной пирамиды основание может быть неправильным, а высота — проходить не через его центр, поэтому эти свойства нельзя переносить на любую пирамиду.

Элементы n-угольной пирамиды

Таблица помогает быстро определить число элементов, если известно количество сторон основания. Буква n обозначает именно число сторон многоугольника, а не число всех граней или вершин пирамиды. Подставьте вместо n число сторон и вычислите значения по формулам. Например, для пятиугольного основания n = 5.

Разбор задач

Задача 1. У пирамиды основание — пятиугольник. Определите число боковых граней, боковых рёбер, всех рёбер и всех вершин. Здесь нужно сначала сопоставить число сторон основания с n, а затем использовать правила подсчёта элементов. Пятиугольник имеет пять сторон, значит, n = 5.

1. Число боковых граней равно числу сторон основания: их 5.
2. Число боковых рёбер также равно n, поэтому боковых рёбер 5.
3. Всего рёбер 2n = 2 · 5 = 10.
4. Всего вершин n + 1 = 5 + 1 = 6: пять находятся в основании и одна является вершиной пирамиды.

Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер, 10 рёбер и 6 вершин. Проверка: десять рёбер складываются из пяти рёбер основания и пяти боковых. Вершин основания пять, а общая вершина боковых граней добавляет ещё одну.

Задача 2. Начертите четырёхугольную пирамиду SABCD и назовите её основание, вершину, боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания. Буква S обозначает вершину, а точки A, B, C, D последовательно задают вершины основания. При перечислении нужно отделить треугольники по бокам от самого четырёхугольника.

1. Основание — четырёхугольник ABCD, поскольку его вершины лежат в одной плоскости.
2. Вершина пирамиды — S: она не лежит в плоскости основания и входит в каждую боковую грань.
3. Сторонам AB, BC, CD и DA соответствуют боковые грани SAB, SBC, SCD и SDA.
4. Отрезки SA, SB, SC и SD соединяют вершину пирамиды с вершинами основания, значит, это боковые рёбра.
5. Отрезки AB, BC, CD и DA образуют контур основания, поэтому это рёбра основания.

Ответ: основание ABCD, вершина S; боковые грани SAB, SBC, SCD, SDA; боковые рёбра SA, SB, SC, SD; рёбра основания AB, BC, CD, DA. Чтобы проверить перечень, сопоставьте каждой стороне основания ровно одну боковую грань. У каждой боковой грани одна сторона лежит в основании, а две другие являются боковыми рёбрами.

Задача 3. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD высота SO равна 6 см, а расстояние от центра основания O до его вершины A равно 5 см. Найдите боковое ребро SA. Важно установить, какой треугольник содержит известные отрезки и искомое ребро. Точка O — основание высоты, поэтому SO перпендикулярна плоскости основания.

1. Отрезок OA лежит в плоскости основания и проходит через точку O, значит, SO ⟂ OA.
2. Треугольник SOA прямоугольный, его катеты равны SO = 6 см и OA = 5 см, а гипотенуза SA — искомое боковое ребро.
3. По теореме Пифагора SA² = SO² + OA² = 6² + 5² = 36 + 25 = 61.
4. Так как длина положительна, SA = √61 см, приблизительно 7,8 см.

Ответ: SA = √61 см (примерно 7,8 см). Здесь не нужно считать боковое ребро равным высоте: оно является гипотенузой прямоугольного треугольника. Проверка показывает, что гипотенуза должна быть длиннее каждого катета, и √61 больше 6 и 5.

Типичные ошибки

Иногда боковой гранью называют любой треугольник, который виден на чертеже. Но гранью пирамиды считается только треугольник с общей вершиной пирамиды; причина ошибки часто в том, что пространственное изображение трудно читать. Проверьте, совпадает ли одна из вершин треугольника с вершиной, лежащей вне плоскости основания. Если нет, этот треугольник не является боковой гранью данной пирамиды.

Боковое ребро могут принять за высоту, потому что оба отрезка выходят из вершины пирамиды. Однако боковое ребро наклонено к плоскости основания, а высота должна быть перпендикулярна этой плоскости. Чтобы проверить отрезок, найдите его второй конец: у ребра это вершина основания, у высоты — точка, в которой перпендикуляр встречает плоскость. Прямой угол с плоскостью важнее внешнего вида отрезка на рисунке.

Боковые рёбра иногда путают с рёбрами основания, поскольку на чертеже они могут выглядеть похожими. Различайте их по расположению: боковые рёбра идут от общей вершины пирамиды, а рёбра основания соединяют соседние вершины многоугольника. Проверьте, лежит ли отрезок в плоскости основания. Если лежит и входит в контур многоугольника, это ребро основания.

Ещё одна ошибка — считать, что высота любой пирамиды попадает в центр основания. Такое заключение неверно, потому что расположение перпендикуляра зависит от формы и положения пирамиды. В правильной пирамиде высота проходит через центр правильного основания, но у произвольной основание высоты может быть в другом месте. Перед использованием свойства проверьте, дана ли пирамида как правильная.

Связь с другими темами

Для изучения пирамиды понадобятся понятия многогранника, многоугольника, грани, ребра и вершины. Также нужно понимать, что значит перпендикулярность прямой и плоскости: именно она задаёт высоту пирамиды. В задачах на длины используют свойства прямоугольных треугольников и теорему Пифагора. Позже знание элементов пирамиды поможет изучать её площадь поверхности и объём, а также решать задачи о пространственных телах.

Что запомнить

• Основание пирамиды — многоугольник.
• Боковые грани пирамиды — треугольники с общей вершиной.
• У пирамиды с n-угольным основанием n боковых граней и n боковых рёбер.
• У n-угольной пирамиды n + 1 вершина, 2n рёбер и n + 1 грань.
• Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания.
• У правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, а высота проходит через его центр.