13.1. Три формулировки теоремы Пифагора

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, один угол которого равен 90°. Две стороны, образующие прямой угол, называют катетами; обозначим их a и b. Третья сторона, лежащая напротив прямого угла, является гипотенузой c.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она всегда длиннее каждого катета, поэтому по ней удобно проверять, какая сторона является главной в теореме Пифагора. В формулах именно её длина обычно обозначается буквой c.

Катет — сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол с другим катетом. Катетов два, и они могут иметь разные или одинаковые длины. Их квадраты входят в сумму, равную квадрату гипотенузы.

Проекция катета на гипотенузу — отрезок гипотенузы, на который опускается высота из вершины прямого угла. Эта высота делит гипотенузу на два отрезка p и q, каждый из которых соответствует своему катету. Понятие проекции нужно, чтобы связать длины катетов не только с гипотенузой, но и с частями гипотенузы.

Как это устроено

Для прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c теорема Пифагора записывается так: c² = a² + b². Причина такого равенства связана с площадями: квадрат числа выражает площадь квадрата, построенного на отрезке соответствующей длины. Поэтому сумма площадей квадратов на катетах равна площади квадрата на гипотенузе.

Опустим из вершины прямого угла высоту h на гипотенузу c. Она разделит гипотенузу на отрезки p и q, причём p + q = c. Получившиеся два маленьких треугольника подобны исходному и друг другу, потому что у них совпадают углы: каждый содержит прямой угол и ещё один общий с исходным треугольником.

Из подобия соответствующих треугольников следует, что катет и гипотенуза относятся так же, как его проекция и катет. После перемножения крайних и средних членов получаем a² = c·p для первого катета и b² = c·q для второго. Проекция должна соответствовать своему катету: p прилегает к a, а q — к b.

Из того же подобия получается равенство h² = p·q: квадрат высоты равен произведению двух отрезков гипотенузы. Если сложить равенства для катетов, выйдет a² + b² = c·p + c·q = c(p + q). Так как p + q = c, получаем a² + b² = c², то есть основную теорему Пифагора.

Три формулировки теоремы Пифагора и связанные с ними равенства

Сначала определите, какие длины даны в условии, а затем выберите строку с подходящими отрезками. Две строки про проекции являются парными: нужно брать ту проекцию, которая прилегает к рассматриваемому катету. Последнее равенство используют, когда известны высота и части гипотенузы.

Разбор задач

Катеты равны 6 и 8

Нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если a = 6 и b = 8. Известны оба катета, поэтому подходит основная формулировка теоремы Пифагора. Искомую длину обозначим c.

1. Запишем формулу: c² = a² + b².
2. Подставим данные: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
3. Извлечём корень: c = √100 = 10, поскольку длина положительна.

Ответ: гипотенуза равна 10.

Гипотенуза 13 и проекция катета 4

Пусть проекция катета a равна p = 4, а гипотенуза c = 13. Требуется найти сам катет и вторую проекцию q. Для катета a берём соответствующее равенство a² = c·p.

1. Находим катет: a² = 13·4 = 52, значит a = √52 = 2√13.
2. Используем разбиение гипотенузы: p + q = c.
3. Получаем q = 13 − 4 = 9.

Ответ: катет равен 2√13, его вторая проекция равна 9.

Высота равна 6, один отрезок гипотенузы равен 4

Пусть h = 6 и p = 4. Нужно найти второй отрезок q, гипотенузу c и оба катета. Начинаем с равенства для высоты, потому что оно напрямую содержит известные h и p.

1. Находим q: h² = p·q, поэтому q = 36 : 4 = 9.
2. Гипотенуза равна сумме отрезков: c = p + q = 4 + 9 = 13.
3. Катет, соответствующий p: a² = c·p = 13·4 = 52, значит a = 2√13.
4. Второй катет: b² = c·q = 13·9 = 117, значит b = 3√13.

Ответ: гипотенуза равна 13, катеты равны 2√13 и 3√13.

Типичные ошибки

Возводят в квадрат не ту сторону, принимая за гипотенузу просто самую длинную сторону на рисунке. Так бывает, если прямой угол не отмечен или чертёж выполнен неточно. Проверьте: гипотенуза обязательно лежит напротив установленного прямого угла.

Называют проекцией катета всю гипотенузу или путают два её отрезка. Ошибка возникает, когда забывают сначала опустить высоту из вершины прямого угла. Проверьте, что проекция — именно часть гипотенузы, прилегающая к соответствующему катету.

Записывают для катета равенство с чужой проекцией. Это происходит из-за механического запоминания букв без связи с чертежом. Проверьте соответствие: если катету a отвечает отрезок p, то используется a² = c·p, а для b — b² = c·q.

Применяют теорему Пифагора или формулы проекций к треугольнику без прямого угла. Внешне похожий рисунок не доказывает, что треугольник прямоугольный. Сначала найдите отметку прямого угла или обоснуйте его наличие, и только потом выбирайте формулу.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уверенно работать с квадратом и квадратным корнем, а также различать стороны прямоугольного треугольника. Равенства с проекциями выводятся через подобие треугольников, поэтому знание признаков подобия помогает понять их происхождение. Теорема Пифагора используется для вычисления расстояний и длин в планиметрии и стереометрии, а обратная теорема помогает проверить прямоугольность треугольника.

Что запомнить

• Теорема Пифагора применима к прямоугольному треугольнику.
• Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b².
• Квадрат каждого катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета.
• Квадрат высоты к гипотенузе равен произведению отрезков гипотенузы: h² = p·q.
• Высота из вершины прямого угла делит гипотенузу на две проекции катетов.
• Сумма проекций катетов равна гипотенузе: p + q = c.