13.2. Пространственная теорема Пифагора для проекций

Определения и обозначения

Ортогональная проекция точки на плоскость — точка пересечения плоскости с перпендикуляром, опущенным из данной точки. Иными словами, это ближайшая к точке точка плоскости, если двигаться строго под прямым углом к ней. Такое построение позволяет измерить перпендикулярную составляющую расстояния.

Ортогональная проекция отрезка на плоскость — отрезок, соединяющий проекции его концов. Он лежит в плоскости и показывает часть исходного отрезка, направленную вдоль этой плоскости. Проекция нужна, чтобы заменить пространственную задачу плоской.

Пространственная теорема Пифагора для проекций — соотношение между длиной отрезка и длинами его составляющих на взаимно перпендикулярных направлениях. Для трёх таких составляющих формула имеет вид l² = l₁² + l₂² + l₃². Она является пространственным продолжением обычной теоремы Пифагора.

Взаимно перпендикулярные проекции — проекции отрезка на три направления, каждое из которых перпендикулярно двум другим. Например, таковы направления трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины. Только при таком условии можно складывать квадраты проекций.

Как это устроено

Пусть отрезок AB наклонён к плоскости α. Опустим из точки B перпендикуляр на плоскость и обозначим его основание B₀, а проекцию точки A оставим в плоскости. Тогда отрезок AB раскладывается на проекцию A₀B₀ и перпендикулярную составляющую BB₀. Треугольник A₀BB₀ прямоугольный, потому что BB₀ перпендикулярен плоскости, а A₀B₀ лежит в ней.

В прямоугольном треугольнике AB является гипотенузой, а A₀B₀ и BB₀ — катетами. Поэтому по теореме Пифагора AB² = A₀B₀² + BB₀². Теорема применима не просто из-за наличия трёх отрезков, а потому что один из углов треугольника прямой. Так пространственная длина связывается с плоской проекцией и высотой.

Проекцию A₀B₀ тоже можно разложить. Выберем в плоскости две перпендикулярные линии и спроектируем на них этот отрезок, получив составляющие l₁ и l₂. Внутри плоскости снова возникает прямоугольный треугольник, поэтому A₀B₀² = l₁² + l₂². Подстановка этого равенства в первое даёт AB² = l₁² + l₂² + l₃², где l₃ — перпендикулярная плоскости составляющая.

Длина отрезка не равна простой сумме длин проекций, потому что составляющие направлены под прямыми углами, а не лежат на одной прямой. Сложение длин описывало бы движение по ломаной линии, тогда как теорема находит длину её прямого замыкания. Поэтому складываются квадраты, после чего из результата извлекается квадратный корень. В обратную сторону формула позволяет найти неизвестную составляющую: например, l₃ = √(l² − l₁² − l₂²).

Пространственная теорема Пифагора и её частные случаи

Сначала определите, какие отрезки являются составляющими исходного отрезка и перпендикулярны ли их направления. Если задача описывает плоскость, применяйте формулу с двумя составляющими, а затем добавляйте третью, перпендикулярную плоскости. Для неизвестной проекции перенесите известные квадраты в другую часть равенства и только потом извлеките корень.

Разбор задач

Задача 1

Рёбра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4 и 12. Требуется найти пространственную диагональ. Эти рёбра направлены попарно перпендикулярно, поэтому они являются тремя проекциями диагонали.

1. Обозначим диагональ через d и применим пространственную теорему Пифагора: d² = 3² + 4² + 12².
2. Вычислим квадрат длины: d² = 9 + 16 + 144 = 169.
3. Извлечём квадратный корень: d = √169 = 13.

Ответ: 13.

Задача 2

Даны точки A(1; 2; 3) и B(4; 6; 15). Нужно найти длину AB и её проекции на координатные оси. Проекции равны модулям приращений соответствующих координат, поскольку координатные оси перпендикулярны.

1. Найдём приращения: Δx = 4 − 1 = 3, Δy = 6 − 2 = 4, Δz = 15 − 3 = 12.
2. Длины проекций равны 3, 4 и 12.
3. Применим формулу: AB = √(3² + 4² + 12²) = √169 = 13.

Ответ: проекции равны 3, 4 и 12; длина отрезка AB равна 13.

Задача 3

Проекция отрезка на плоскость равна 15 см, а расстояние от его конца до проекции равно 8 см. В плоскости одна проекция равна 9 см, другую нужно найти. Здесь используются два прямоугольных треугольника последовательно.

1. Для исходного отрезка l² = 15² + 8² = 225 + 64 = 289, поэтому l = 17 см.
2. Внутри плоскости обозначим неизвестную проекцию через x: 15² = 9² + x².
3. Получаем x² = 225 − 81 = 144, значит x = 12 см.

Ответ: длина отрезка 17 см, неизвестная проекция 12 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — складывать длины проекций: l = l₁ + l₂ + l₃. Так поступают, представляя составляющие как последовательные куски одной прямой, но в пространстве они направлены под прямыми углами. Проверьте себя: в формуле сначала должны стоять квадраты, а корень извлекается в конце.

Вторая ошибка — применять формулу к наклонным направлениям. Три произвольные проекции не образуют прямоугольную систему, поэтому их квадраты нельзя просто складывать. Перед вычислением найдите слова «перпендикулярны», «рёбра прямоугольного параллелепипеда» или проверьте это геометрически.

Третья ошибка — путать проекцию на плоскость с перпендикулярной составляющей. Проекция лежит в плоскости и соединяет проекции концов, а перпендикулярная составляющая выходит из плоскости под прямым углом. Для проверки представьте прямоугольный треугольник: это разные катеты.

Четвёртая ошибка — забывать извлечь корень. После сложения квадратов получают не длину, а квадрат длины отрезка. Если вычислено l² = 169, окончательный ответ должен быть l = 13, а не 169.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны обычная теорема Пифагора, свойства перпендикулярных прямых и плоскостей, расстояние от точки до плоскости и координаты точки в пространстве. Все они объясняют, откуда берутся прямые углы и составляющие.

Формула применяется при вычислении расстояний и диагоналей многогранников. В прямоугольной системе координат она превращает приращения координат в длину пространственного отрезка.

Связь с векторами прямая: координаты вектора являются его проекциями на взаимно перпендикулярные оси. Поэтому длина вектора вычисляется как √(x² + y² + z²).

Что запомнить

• Проекция отрезка на плоскость соединяет проекции его концов.
• Отрезок, его проекция на плоскость и перпендикулярная составляющая образуют прямоугольный треугольник.
• Квадрат длины пространственного отрезка равен сумме квадратов взаимно перпендикулярных составляющих.
• Для трёх попарно перпендикулярных проекций используется формула l² = l₁² + l₂² + l₃².
• Проекции можно находить не только по отрезку, но и по двум известным составляющим.
• Перед применением теоремы нужно проверить взаимную перпендикулярность составляющих.