"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (углублённый уровень)", Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И.
Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, то есть c² = a² + b². По двум известным сторонам с её помощью находят третью, а обратная теорема помогает проверить, прямоугольный ли треугольник заданных размеров. Это не только способ решать задачи о треугольниках: нужное расстояние часто можно найти, разбив фигуру на прямоугольные треугольники.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Теорема Пифагора утверждает: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если катеты обозначить a и b, а гипотенузу — c, формула имеет вид c² = a² + b². Она связывает длины трёх сторон и позволяет вычислять неизвестную сторону, когда известны две другие.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, прилежащая к прямому углу. У каждого такого треугольника два катета, и в формуле Пифагора стоят квадраты длин обоих: a² и b². Чтобы не перепутать их с гипотенузой при вычислении, сначала находят прямой угол и определяют прилежащие к нему стороны.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она является наибольшей стороной этого треугольника, поэтому в записи c² = a² + b² её обозначают отдельно. Такое расположение важно: именно квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Обратная теорема Пифагора утверждает: если квадрат большей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. Эта теорема позволяет установить наличие прямого угла по длинам сторон, даже если угол непосредственно не измеряли. Для проверки сначала необходимо определить наибольшую сторону.
Теорема Пифагора связывает стороны, а не величины углов: если известно, что треугольник прямоугольный, для вычислений достаточно длин двух сторон. Это удобно, когда стороны можно измерить или выразить через другие величины, но угол в задаче не указан. В результате неизвестную длину находят с помощью равенства квадратов, не вычисляя сами углы.
Чтобы найти гипотенузу по двум катетам, подставляют их длины вместо a и b, складывают квадраты и извлекают квадратный корень: c = √(a² + b²). Складывают именно квадраты, потому что теорема устанавливает равенство c² = a² + b², а не равенство самих длин. Корень возвращает результат от квадрата длины к длине стороны.
Чтобы найти катет, сначала переставляют слагаемые в формуле: квадрат неизвестного катета равен квадрату гипотенузы минус квадрат известного катета. Например, из c² = a² + b² следует a² = c² − b², а значит, a = √(c² − b²). Вычитание нужно потому, что квадрат известного катета уже составляет часть суммы, равной c².
Обратная теорема превращает формулу в проверку: если известны три стороны, сравнивают квадрат наибольшей с суммой квадратов двух остальных. Равенство подтверждает прямоугольность, а несовпадение показывает, что треугольник не прямоугольный. Наибольшую сторону выбирают не случайно: в прямоугольном треугольнике напротив прямого угла расположена гипотенуза, и она длиннее катетов.
Теорема помогает находить расстояния, когда напрямую измерить их трудно. В прямоугольнике диагональ, например, вместе с двумя сторонами образует прямоугольный треугольник; в пространственной фигуре подходящие отрезки тоже могут дать такой треугольник. Если одной формулы недостаточно, фигуру разбивают на несколько прямоугольных треугольников и последовательно находят нужные длины.
| Что рассматривается | Условие | Вывод | Для чего применяют |
|---|---|---|---|
| Теорема Пифагора | Треугольник прямоугольный | c² = a² + b² | Для нахождения стороны по двум другим |
| Обратная теорема Пифагора | Квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух остальных | Треугольник прямоугольный | Для проверки прямоугольности по трём сторонам |
| Поиск гипотенузы | Известны оба катета a и b | c = √(a² + b²) | Для вычисления стороны напротив прямого угла |
| Поиск катета | Известны гипотенуза c и другой катет b | a = √(c² − b²) | Для вычисления недостающего катета |
| Проверка прямоугольности треугольника | Известны три длины, найдена наибольшая сторона c | Если c² = a² + b², треугольник прямоугольный | Для распознавания прямоугольного треугольника |
Сначала определите, что именно известно: прямоугольный ли треугольник уже дан или это требуется проверить по сторонам. Затем выберите подходящую строку и подставьте длины, соблюдая обозначения катетов и гипотенузы. Проверяйте, что под корнем при поиске катета получается положительное число, а результат соответствует расположению сторон.
Задача 1. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Нужно найти гипотенузу. Прямой угол уже указан, поэтому теорему Пифагора можно применять непосредственно.
Обозначим катеты a = 6 см и b = 8 см, гипотенузу — c. Так проще увидеть, какие величины подставлять в формулу. Запишем c² = a² + b².
Подставим значения: c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Складываем квадраты, а не сами длины, потому что именно такое равенство задаёт теорема. Тогда c = √100 = 10 см.
Ответ: гипотенуза равна 10 см. Проверка здравого смысла: она длиннее каждого из катетов, как и должна быть. Полученное значение соответствует этому условию.
Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Требуется найти второй катет. Поскольку известна гипотенуза, квадрат неизвестного катета найдём вычитанием.
Обозначим гипотенузу c = 13 см, известный катет a = 5 см, неизвестный катет b. Из c² = a² + b² выразим b² = c² − a². Это перестановка слагаемых, а не новая формула.
Подставим длины: b² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144. Извлечём корень: b = √144 = 12 см. Берём положительный корень, так как длина стороны положительна.
Ответ: второй катет равен 12 см. Проверка: 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13². Значит, вычисление согласуется с теоремой Пифагора.
Задача 3. Стороны треугольника равны 7 см, 24 см и 25 см. Нужно выяснить, прямоугольный ли он. Здесь неизвестен не размер стороны, а вид треугольника, поэтому применим обратную теорему.
Наибольшая сторона равна 25 см; её и нужно сравнить с двумя другими. Вычислим квадраты: 25² = 625, а 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Получилось равенство квадратов.
По обратной теореме Пифагора треугольник прямоугольный, причём гипотенузой будет сторона 25 см. Важно было выбрать именно наибольшую сторону, а не проверять произвольное расположение чисел. Условия задачи выполнены.
Ответ: треугольник прямоугольный. Равенство 25² = 7² + 24² подтверждает вывод. Сторона 25 см лежит напротив его прямого угла.
Ошибка: называть гипотенузой самую длинную сторону любого треугольника. Так думают, потому что в прямоугольном треугольнике гипотенуза действительно длиннее катетов, но определение связано с прямым углом. Сначала проверьте, что треугольник прямоугольный, и только потом называйте сторону напротив прямого угла гипотенузой.
Ошибка: подставлять стороны в формулу, не выделив гипотенузу. Тогда можно случайно приравнять квадрат катета к сумме квадратов двух других сторон, хотя в теореме слева стоит именно гипотенуза. Отметьте прямой угол и проверьте, что противоположная ему сторона обозначена c.
Ошибка: при поиске катета складывать квадраты. Это происходит, если механически повторить действие для нахождения гипотенузы и не выразить неизвестное из исходной формулы. Запишите c² = a² + b² и перенесите квадрат известного катета вычитанием; затем проверьте подстановкой.
Ошибка: проверять обратную теорему без определения наибольшей стороны. Если равенство составлено с меньшей стороной слева, вывод о прямоугольности может оказаться неверным. Упорядочьте длины, возведите наибольшую в квадрат и сравните результат с суммой квадратов двух оставшихся.
Для работы с теоремой нужны определение прямоугольного треугольника, названия его сторон и умение возводить числа в квадрат и извлекать квадратный корень. Если эти действия вызывают трудности, полезно отдельно повторить вычисления с корнями и проверять результат обратным возведением в квадрат. Это помогает не только правильно подставить длины, но и оценить ответ.
В планиметрии теорема позволяет находить длины отрезков, например диагонали прямоугольника, а в стереометрии — расстояния внутри пространственных фигур. Часто задачу сначала сводят к одному прямоугольному треугольнику, а в более сложных случаях — к нескольким треугольникам. Обратная теорема помогает распознавать прямоугольные треугольники и проверять геометрические построения по длинам сторон.
Почему в теореме Пифагора складывают именно квадраты сторон?
Теорема устанавливает связь не между самими длинами, а между квадратами длин сторон прямоугольного треугольника. Геометрически это соответствует равенству площадей квадратов, построенных на сторонах: площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.
Как понять, какая сторона является гипотенузой?
Сначала нужно найти прямой угол: сторона напротив него и есть гипотенуза. Она также длиннее каждого катета, но просто самая длинная сторона любого треугольника гипотенузой не называется.
Можно ли найти катет, если известны гипотенуза и другой катет?
Да. Из равенства c² = a² + b² вычитают квадрат известного катета, а затем извлекают квадратный корень. Например, если c = 13, а a = 5, то b = √(13² − 5²) = 12.
Как проверить по трём сторонам, прямоугольный ли треугольник?
Выберите наибольшую сторону и возведите её в квадрат. Если полученное число равно сумме квадратов двух остальных сторон, то по обратной теореме треугольник прямоугольный.
Где теорема Пифагора применяется, кроме задач о треугольниках?
Её используют, чтобы находить расстояния и длины отрезков в планиметрии и стереометрии. Для этого искомую длину связывают с катетами прямоугольного треугольника, который можно выделить в фигуре.
13.3. О значении теоремы Пифагора
