120. Призма

Определения и обозначения

Призма — многогранник, у которого две грани являются равными многоугольниками в параллельных плоскостях, а остальные грани — параллелограммы. Проще говоря, у призмы есть одинаковые «торцы», соединённые боковыми гранями. Это определение помогает отличить призму от других многогранников.

Основания призмы — два равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Они могут быть повернуты как угодно: решающим является не положение на рисунке, а равенство и параллельность. По основаниям определяют вид призмы.

Боковые грани призмы — параллелограммы, соединяющие соответствующие стороны оснований. Каждая такая грань располагается между одной стороной первого основания и соответствующей стороной второго. Это позволяет понять, какие грани являются боковыми, а какие — основаниями.

Боковые рёбра призмы — отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований; все они параллельны и равны. Иными словами, каждую вершину одного основания соединяют с такой же по порядку вершиной другого. Это свойство пригодится при определении вида призмы и её высоты.

Как это устроено

Представь многоугольник и его копию, которую параллельно перенесли на некоторое расстояние. Соедини каждую вершину исходного многоугольника с соответствующей вершиной копии: получатся боковые рёбра, а соответствующие стороны ограничат боковые грани. Две копии станут основаниями. Так возникает призма, поэтому её элементы связаны между собой не случайно.

Основания оказываются равными, потому что параллельный перенос перемещает фигуру, не меняя её форму и размеры. При таком переносе каждая точка смещается в одном направлении на одинаковое расстояние. Поэтому соответствующие стороны оснований также равны и параллельны. А поскольку плоскость многоугольника переносится параллельно самой себе, плоскости оснований параллельны.

Боковые грани являются параллелограммами из-за свойств переноса. У каждой грани две противоположные стороны — соответствующие стороны оснований: они параллельны и равны. Две другие стороны — боковые рёбра, которые тоже параллельны и равны. Значит, у четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, а такой четырёхугольник и есть параллелограмм.

Название призмы зависит от того, сколько сторон имеет многоугольник в основании. Если основание треугольное, призма называется треугольной; если четырёхугольное — четырёхугольной. У n-угольника n сторон, поэтому ему соответствуют n боковых граней и n боковых рёбер. Считать удобнее по одному основанию, а затем помнить, что оснований всегда два.

У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований, а у наклонной — нет. Это различие связано с тем, как соединены основания: в прямой призме соединяющие отрезки идут под прямым углом к плоскостям, в наклонной — под другим углом. Высота измеряет расстояние между плоскостями оснований, поэтому у прямой призмы она совпадает с боковым ребром, а у наклонной обычно короче него.

Элементы призмы и их свойства

При разборе фигуры сначала найди основания, затем проверь боковые грани и рёбра. Таблица помогает не перепутать сами элементы с их свойствами. Отдельно проверь, прямая призма или наклонная: от этого зависит связь высоты с боковым ребром.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке изображён многогранник с двумя равными треугольниками в параллельных плоскостях и тремя боковыми гранями. Определите, является ли он призмой и как она называется.

1. Проверяем основания: их два, они равны и расположены в параллельных плоскостях.
2. Смотрим на боковые грани: их три, и они соединяют соответствующие стороны треугольников как параллелограммы.
3. Признаки призмы выполнены. Основание — треугольник, значит, призма называется треугольной.

Ответ: да, это треугольная призма. Число боковых граней согласуется с числом сторон треугольного основания.

Задача 2. У призмы основание — четырёхугольник. Сколько у неё оснований, боковых граней и боковых рёбер?

1. У любой призмы два основания, независимо от формы многоугольника.
2. У четырёхугольника четыре стороны, значит, каждой стороне соответствует одна боковая грань. Всего таких граней четыре.
3. У четырёхугольного основания четыре вершины, и каждой соответствует вершина второго основания. Поэтому боковых рёбер тоже четыре.

Ответ: два основания, четыре боковые грани и четыре боковых ребра. Здесь полезно считать грани и рёбра по числу сторон основания, а не по числу всех его вершин сразу.

Задача 3. У прямой призмы высота равна 8 см, а сторона основания — 5 см. Найдите длину соответствующего бокового ребра и объясните ответ.

1. Вспоминаем, что высота — это расстояние между плоскостями оснований.
2. У прямой призмы боковое ребро перпендикулярно плоскостям оснований, поэтому оно образует отрезок, равный этому расстоянию.
3. Следовательно, длина бокового ребра равна высоте. Длина стороны основания 5 см на ответ не влияет.

Ответ: 8 см. Указанная сторона основания здесь лишняя: для нахождения бокового ребра достаточно знать, что призма прямая, и использовать её высоту.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что основания призмы обязательно расположены горизонтально. На рисунке плоскости часто изображают именно так для удобства, но наклонённые или вертикальные параллельные плоскости тоже подходят. Причина ошибки — привычка принимать положение изображения за свойство фигуры. Проверь себя: спроси, параллельны ли плоскости оснований, а не «лежат» ли они ровно.

Ошибка: принимать любую грань за основание. Оснований ровно два, это равные многоугольные грани в параллельных плоскостях; остальные грани соединяют их. Путаница возникает, если выбирать грань только по её размеру или положению на рисунке. Для проверки найди пару равных параллельных многоугольников.

Ошибка: считать боковые грани любой призмы прямоугольниками. У наклонной призмы боковые грани могут быть наклонными параллелограммами, потому что боковые рёбра не перпендикулярны основаниям. Прямоугольники получаются у прямой призмы лишь при дополнительном условии, что основание тоже имеет прямые углы. Проверяй не внешний вид картинки, а параллельность сторон грани.

Ошибка: всегда приравнивать высоту к боковому ребру. Высота — расстояние между плоскостями оснований, тогда как боковое ребро соединяет их соответствующие вершины и может идти наклонно. Путают эти отрезки, потому что на чертеже они иногда выглядят одинаковыми. Равенство верно для прямой призмы; в остальных случаях его нельзя использовать без проверки.

Связь с другими темами

Чтобы изучать призмы, нужно знать многоугольники и уметь различать их стороны и вершины. Также понадобятся представления о параллельных прямых и плоскостях, а ещё понятия граней и рёбер многогранника. Эти знания помогают распознать основания и описать остальные элементы фигуры.

Свойства призмы станут основой для дальнейшего изучения её площади и объёма. Например, понимание того, какие грани являются основаниями, помогает определять, какие величины нужно использовать в формулах. Те же умения пригодятся в задачах о других многогранниках.

Что запомнить

• У призмы два равных основания в параллельных плоскостях.
• Боковые грани призмы — параллелограммы.
• Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
• Название призмы зависит от многоугольника в основании.
• У прямой призмы боковые рёбра перпендикулярны основаниям.
• У прямой призмы высота равна боковому ребру.