119. Многогранник

Определения и обозначения

Многогранник — тело, ограниченное поверхностью, составленной из многоугольников. Иными словами, несколько плоских фигур соединены так, что образуют замкнутую оболочку вокруг тела. Это определение помогает отличать многогранник от плоской фигуры и описывать его форму.

Грань многогранника — один из многоугольников, составляющих его поверхность. Например, у куба каждая из шести квадратных частей поверхности является отдельной гранью. Понятие грани нужно, чтобы называть и сравнивать части поверхности, а не всё тело целиком.

Ребро многогранника — сторона грани, которая является общей для двух соседних граней. Если два многоугольника соприкасаются по одной стороне, эта сторона считается одним ребром тела. Рёбра показывают, как грани соединены между собой, и помогают находить границы каждой грани.

Вершина многогранника — вершина одной или нескольких его граней. В ней сходятся концы рёбер, поэтому вершину можно увидеть как точку соединения нескольких линий на чертеже. Это понятие нужно для обозначения углов тела и подсчёта его элементов.

Как это устроено

Чтобы получить поверхность многогранника, многоугольники соединяют сторонами так, чтобы между ними не оставалось разрывов. Если оболочка замкнулась, она ограничивает тело: например, шесть квадратов можно соединить так, чтобы получился куб. Замкнутость важна, потому что открытый набор многоугольников ещё не окружает тело со всех сторон.

У каждой грани есть стороны, а у многогранника эти стороны служат рёбрами. В месте, где две грани соприкасаются, их общая сторона одна и та же, поэтому её считают одним ребром. Концы рёбер становятся вершинами: так плоские многоугольники связываются в единую пространственную фигуру.

У ребра многогранника соседствуют две грани, потому что ребро — общий участок их границ. На модели это видно, если проследить по линии, где одна плоская часть поверхности переходит в другую. На чертеже такое ребро тоже отделяет одну грань от соседней, хотя одна из них может быть обращена от наблюдателя.

Многогранник объёмный, но его обычно показывают на плоском листе. Линии, которые видны наблюдателю, проводят сплошными, а скрытые за поверхностью рёбра — пунктирными. Пунктир не означает, что ребра нет: он лишь показывает, что его закрывает тело.

У куба можно найти шесть граней-квадратов, двенадцать рёбер и восемь вершин. Чтобы различить элементы, сначала выдели целые плоские участки — это грани, затем их общие стороны — рёбра, а после отметь концы рёбер — вершины. На рисунке часть рёбер может быть пунктирной, поэтому при подсчёте нужно мысленно восстановить всю фигуру.

Элементы многогранника

Пользуйся таблицей, двигаясь от целого участка к его границам: сначала найди грань, затем её стороны-рёбра и точки на концах. Если линия нарисована пунктиром, проверь, не является ли она скрытым ребром. Для проверки подсчёта проследи, чтобы одна общая сторона соседних граней не была учтена дважды.

Разбор задач

Задача 1. На рисунке куба назовите его грани, рёбра и вершины. Названия зависят от букв, которыми обозначены точки на рисунке, поэтому сначала нужно распознать сами элементы. У куба видимая часть изображения не всегда показывает все линии сплошными. Перечислим элементы по их геометрическому смыслу.

1. Найдём плоские участки поверхности: у куба их шесть, и каждый представляет собой квадрат. Это грани.
2. Проследим стороны квадратов: стороны, общие для соседних граней, образуют двенадцать рёбер. Общую сторону отмечаем один раз.
3. Посчитаем точки, где сходятся рёбра: таких вершин у куба восемь. Скрытые пунктирные рёбра тоже помогают увидеть соединения.

Ответ: у куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин; если на рисунке есть буквенные обозначения, названия элементов записывают по этим буквам.

Задача 2. Сколько граней, рёбер и вершин у прямоугольного параллелепипеда? Эта фигура похожа на коробку: её поверхность состоит из прямоугольников. Чтобы не пропустить задние части, удобно считать сначала элементы, которые образуют верхнюю и нижнюю границы, а затем соединения между ними.

1. У прямоугольного параллелепипеда две грани сверху и снизу, а также четыре боковые грани. Итого 2 + 4 = 6 граней.
2. У верхней и нижней частей по четыре ребра, а четыре вертикальных ребра соединяют их. Получаем 4 + 4 + 4 = 12 рёбер.
3. У верхней и нижней частей по четыре вершины. Всего 4 + 4 = 8 вершин.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин. Если некоторые линии не видны, фигура всё равно содержит их, поэтому пунктирные рёбра входят в подсчёт.

Задача 3. На изображении многогранника найдите ребро, общее для двух указанных граней, и назовите его концы. Пусть грани обозначены буквами, а вершины подписаны на чертеже. Ищем не линию внутри грани, а именно сторону, по которой обе грани соприкасаются.

1. Проследим границы первой грани и отдельно границы второй.
2. Найдём сторону, которая входит в границу обеих граней. Это их общее ребро, и считать его нужно один раз.
3. Определим две точки на концах этой стороны. По их буквенным обозначениям назовём вершины ребра.

Ответ: общее ребро — найденная сторона обеих граней, его концы — две вершины, стоящие на концах этой стороны. Если ребро пунктирное, способ поиска остаётся тем же.

Типичные ошибки

Называть гранью всё тело — ошибка: грань является только одним многоугольником на поверхности. Её допускают, когда слово «грань» связывают со всем внешним видом фигуры. Проверь себя: если можно выделить отдельный плоский участок, это грань, а тело целиком — многогранник.

Путать ребро и диагональ грани — значит принимать любую линию на многоугольнике за его сторону. Такое случается, если не проверить, какие точки соединены. Ребро многогранника является стороной грани, а диагональ проходит внутри неё и соединяет несоседние вершины.

Считать невидимые рёбра отсутствующими нельзя: чертёж показывает объёмное тело не полностью. Пунктирные линии часто кажутся вспомогательными, поэтому их могут пропустить при подсчёте. Проверь себя, представив тело целиком: скрытая часть поверхности и её рёбра никуда не исчезают.

Считать общую сторону двух граней двумя рёбрами — значит дважды учитывать одну линию. Ошибка возникает, когда считают стороны каждой грани по отдельности, не замечая их совпадения. Сверь границы соседних граней: если сторона у них одна и та же, это одно ребро многогранника.

Связь с другими темами

Для изучения многогранников нужно знать, что такое многоугольник, его стороны и вершины. Также важно отличать плоскую фигуру от пространственного тела: многоугольник лежит в одной плоскости, а многогранник занимает часть пространства и имеет поверхность. Тогда связь между плоскими гранями и объёмной фигурой становится понятной.

Понятия грани, ребра и вершины понадобятся при изучении призм, пирамид и других пространственных фигур. В дальнейшем с их помощью описывают устройство тела и сравнивают разные многогранники. Умение читать пунктирные и сплошные линии помогает правильно работать с их чертежами.

Что запомнить

• Многогранник ограничен поверхностью, составленной из многоугольников.
• Многоугольники на поверхности многогранника называются гранями.
• Сторона грани, общая с другой гранью, называется ребром.
• Концы рёбер являются вершинами многогранника.
• На чертеже невидимые рёбра обычно изображают пунктиром.