41. Многогранник

Определения и обозначения

Многогранник — геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Слово «конечного» означает, что таких частей не бесконечно много. Поверхность ограничивает тело в пространстве, поэтому многогранник не является плоской фигурой. Это определение помогает сразу отличить его от тел с кривой поверхностью.

Грань многогранника — многоугольник, входящий в состав его поверхности. Например, у куба каждая квадратная часть его поверхности является гранью. Грани нужны, чтобы описывать, из каких плоских частей состоит поверхность тела. При этом грань — только часть поверхности, а не всё тело целиком.

Ребро многогранника — сторона грани, которая одновременно принадлежит другой грани. Иными словами, это общая сторона двух соседних многоугольников поверхности. Рёбра показывают, по каким линиям грани соединяются друг с другом. На рисунке именно ребро обычно выглядит как линия перехода от одной грани к другой.

Вершина многогранника — вершина одной или нескольких граней, входящих в его поверхность. В этой точке соединяются грани, а сходящиеся в ней отрезки являются рёбрами. Понятие вершины помогает находить концы рёбер и устанавливать, как устроены части тела. Не всякая точка на поверхности является вершиной: она должна быть вершиной многоугольника.

Как это устроено

Чтобы многоугольники образовали поверхность многогранника, они должны соединяться сторонами и вместе замыкать пространство. Если оставить между ними промежуток, тело не будет полностью ограничено; если они лежат отдельно, общей поверхности тоже не получится. При соединении стороны соседних многоугольников совпадают, а углы и направления их расположения позволяют поверхности поворачиваться в пространстве. Поэтому важен не только перечень многоугольников, но и способ их соединения.

Общая сторона двух граней становится ребром, потому что именно вдоль неё заканчивается одна плоская часть поверхности и начинается другая. По одну сторону этой линии расположена одна грань, по другую — соседняя. Если сторона не имеет соседней грани, поверхность остаётся открытой в этом месте. Так можно понять, почему ребро — не любая нарисованная линия, а именно линия соединения граней.

Вершины многоугольников становятся вершинами многогранника в тех точках, где сходятся несколько частей его поверхности. При складывании граней их углы должны встретиться так, чтобы образовалась общая точка, а не разрыв или наложение частей. Рёбра, подходящие к этой точке, и образуют характерное соединение элементов тела. Поэтому, рассматривая вершину, полезно проследить, какие рёбра к ней подходят и какие грани их ограничивают.

На модели или рисунке сначала ищут плоские участки, ограниченные отрезками: это грани. Затем прослеживают границы этих участков: общие для соседних граней отрезки являются рёбрами. Точки, в которых заканчиваются и сходятся рёбра, — вершины. Такой порядок помогает не принять линию, нанесённую для обозначения, или произвольную точку на грани за элемент многогранника.

Многогранник рассматривают как тело вместе с его поверхностью, а не как простой набор многоугольников. Набор фигур сам по себе может быть разложен на плоскости и не ограничивать никакой объём. Чтобы получился многогранник, грани должны быть соединены в замкнутую поверхность, которая отделяет внутреннюю область от внешнего пространства. Поэтому при описании тела учитывают и устройство поверхности, и то, что она ограничивает тело.

Элементы многогранника

Пользуйся таблицей в таком порядке: сначала найди плоские части поверхности, затем их общие границы и точки соединения границ. Проверяй каждый элемент по его роли, а не только по тому, как он выглядит на плоском рисунке. Например, линия внутри грани не становится ребром, если по ней не соединяются соседние грани.

Разбор задач

Задача 1. Куб

Условие. На рисунке изображён куб. Назовите его грани, рёбра и вершины. Для ответа достаточно перечислить виды элементов и их количество, поскольку буквенные обозначения вершин в условии не заданы. Будем считать, что изображён обычный куб, а не его развёртка.

1. Сначала найдём грани: поверхность куба состоит из шести квадратов, поэтому у него шесть граней.
2. Каждый квадрат имеет четыре стороны, но нельзя просто умножить 6 на 4 и получить количество рёбер: каждое ребро входит сразу в две грани. Значит, 6 · 4 нужно разделить на 2, и получаем 12 рёбер.
3. Вершины — угловые точки куба, в каждой из которых сходятся три ребра. У куба таких точек восемь.

Ответ. У куба шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин. Если вершины на рисунке обозначены буквами, их можно перечислить по этим буквам, а не только указать количество. При этом гранями остаются плоские квадратные части поверхности, а не весь куб.

Задача 2. Соседние грани

Условие. У многогранника известны несколько соседних граней. Укажите, какие их стороны являются рёбрами, а какие точки — вершинами многогранника. Обозначений нет, поэтому назовём стороны и точки по их расположению. Требуется проверить связи между элементами, а не просто перечислить все линии и углы.

1. Для каждой пары соседних граней найдите сторону, которая принадлежит обеим граням. Именно такая общая сторона является ребром многогранника.
2. Проследите концы найденных сторон. Если конец является вершиной входящих в поверхность многоугольников и в нём сходятся рёбра, это вершина многогранника.
3. Отбросьте точки на середине грани и стороны, у которых нет соседней грани: первые не являются вершинами, а вторые не подтверждают замкнутость поверхности.

Ответ. Рёбрами будут общие стороны соседних граней, а вершинами — их концы, в которых сходятся рёбра и встречаются вершины граней. Если на рисунке указаны буквы, назовите общую сторону её конечными буквами, а точки — соответствующими обозначениями. Такой способ не позволяет принять за ребро границу отдельного многоугольника, не соединённую с соседней гранью.

Задача 3. Развёртка

Условие. Составьте описание многогранника по развёртке из многоугольников: определите, какие стороны после складывания станут рёбрами, и назовите вершины. Развёртка — это плоское расположение граней, соединённых некоторыми сторонами. Представим, что известна схема складывания, по которой она собирается без наложений и разрывов.

1. Найдите стороны многоугольников, которые по схеме должны совпасть при складывании. После сборки каждая такая совпавшая пара станет общим участком двух граней, то есть ребром.
2. Мысленно поднимите части развёртки, сохраняя соединения между ними. Точки, которые при складывании совмещаются и становятся концами рёбер, образуют вершины многогранника.
3. Проверьте всю поверхность: у каждого ребра должны встретиться соседние грани, а собранная оболочка должна замкнуться. Если остаётся открытая граница, развёртка не описывает замкнутый многогранник в таком виде.

Ответ. Рёбрами являются стороны, которые при складывании становятся общими для двух граней; вершинами — точки, в которых после складывания сходятся такие рёбра. Их буквенные названия определяются обозначениями на самой развёртке. Без конкретной схемы нельзя перечислить названия буквами, поэтому ответ строится по способу складывания и проверке замкнутости.

Типичные ошибки

Ошибка — называть гранью всё тело. Так происходит потому, что на рисунке грань часто воспринимается как «сторона» многогранника, а слово «сторона» используют и для всего объекта. Но грань — только многоугольная часть поверхности, тогда как многогранник включает всё тело. Проверь себя: можно ли выделить эту часть как плоский многоугольник? Если да, это грань, а не тело целиком.

Ошибка — считать ребром любую линию, заметную на рисунке. Некоторые линии могут быть вспомогательными, а другие обозначают границу одной грани без соединения с соседней. Ребро должно быть общей стороной двух граней, поэтому нужно посмотреть, какие участки поверхности встречаются вдоль линии. Если по разные стороны линии не расположены соседние грани, это не ребро многогранника.

Ошибка — принимать за вершину любую точку на поверхности. Точка может лежать внутри грани или на середине ребра, но от этого она не становится вершиной тела. Вершина должна быть вершиной входящих в поверхность многоугольников, и в ней сходятся рёбра. Для проверки проследи от точки все прилегающие линии: если это не место соединения рёбер, перед тобой не вершина многогранника.

Ошибка — рассматривать грани как отдельные, несвязанные многоугольники. Так можно ошибиться, если сосредоточиться на форме каждой части и забыть, что они должны ограничивать одно тело. У несвязанных фигур нет общей замкнутой поверхности, а значит, они не образуют многогранник. Проверь, соединены ли грани общими сторонами и можно ли по ним получить замкнутое пространственное тело.

Связь с другими темами

Для изучения многогранника нужно знать многоугольники: их стороны и вершины, а также понимать, что такое пространственное тело. Это позволяет перейти от знакомой плоской фигуры к поверхности, части которой соединяются в пространстве. Понятия грани, ребра и вершины становятся основой для изучения видов многогранников и вычисления их характеристик. Когда будут рассматриваться конкретные тела, эти элементы помогут описать их устройство и устанавливать связи между частями.

Что запомнить

• Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников.
• Многоугольники, составляющие поверхность, называются гранями.
• Стороны граней, по которым соединяются соседние грани, являются рёбрами.
• Вершины граней образуют вершины многогранника.
• Многогранник — пространственное тело, а не плоская фигура.